第5讲 函数的单调性与最值
1．(2014年北京)下列函数中，定义域是R，且为增函数的是( )
－
A．y＝ex B．y＝x3 C．y＝ln x D．y＝|x|
f?x?－f?－x?
2．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为
x
( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
3．(2015年陕西)设f(x)＝x－sin x，则f(x)( ) A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数 C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数
4．(2013年新课标Ⅱ)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是( ) A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
5．(2016年天津)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，若实数a满足f(2|a1|)>f(－2)，则a的取值范围是( )(导学号 58940218)
1－∞，? A.?2??
13
－∞，?∪?，＋∞? B.?2??2??13?C.??2，2? 3
，＋∞? D.??2?
x
6．(2016年北京)函数f(x)＝(x≥2)的最大值为________．(导学号 58940219)
x－1
7．已知函数f(x)＝x3＋sin x，x∈(－1,1)，如果f(1－m)＋f(1－m2)<0，那么m的取值范围是______________．
?－x＋6，x≤2，?
8．(2015年福建)若函数f(x)＝?(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，
??3＋logax，x＞2
则实数a的取值范围是________．
1?
9．(2016年上海)已知a∈R，函数f(x)＝log2??x＋a?. (1)当a＝5时，解不等式f(x)>0；
(2)若关于x的方程f(x)－log2[(a－4)x＋2a－5]＝0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；
1?
(3)设a>0，若对任意t∈??2，1?，函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．
－
10．(2014年大纲)函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)．(导学号 58940220) (1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)在区间(1,2)上是增函数，求a的取值范围．
第5讲 函数的单调性与最值
1?x
1．B 解析：y＝e－x＝??e?在R上单调递减；y＝ln x的定义域为(0，＋∞)；y＝|x|＝
??x，x≥0，
当x<0时，函数单调递减；只有函数y＝x3的定义域是R，且为增函数． ?
?－x，x<0，?
f?x?－f?－x?2f?x?
2．D 解析：由＝＜0，得xf(x)＜0.结合图象可求解集为(－1,0)∪(0,1)．
xx3．B 解析：由f(x)＝x－sin x?f(－x)＝(－x)－sin(－x)＝－x＋sin x＝－(x－sin x)＝－f(x)，又f(x)的定义域为R关于原点对称，所以f(x)是奇函数；由f′(x)＝1－cos x≥0?f(x)在R上是增函数．故选B.
11
4．D 解析：若存在正数x使2x(x－a)<1成立，即存在正数x使x－a
1111
x－x?min.又x－x在(0，＋∞)上单调递增，所以?x－x?min＝0－0＝－1.故a>－1.故选即a>??2??2?22D.
113
5．C 解析：由题意，得f(－2|a－1|)>f(－2)?－2|a－1|>－2?2|a－1|<2?|a－1|
1
6．2 解析：f(x)＝1＋≤1＋1＝2，即最大值为2.
x－1
7．(1，2) 解析：函数f(x)＝x3＋sin x，x∈(－1,1)是奇函数又是增函数，f(1－m)＋f(1
－1<1－m<1，??
－m)<0，f(1－m)<－f(1－m)＝f(m－1)，有?－1 ??1－m 2 2 2 22 解得1 1?1 ＋5>0，得＋5>1. 9．解：(1)由log2??x?x1 －∞，－?∪0，＋∞. 解得x∈?4??1 (2)＋a＝(a－4)x＋2a－5， x () 即(a－4)x2＋(a－5)x－1＝0， 当a＝4时，x＝－1，经检验，满足题意． 当a＝3时，x1＝x2＝－1，经检验，满足题意． 1 当a≠3，且a≠4时，x1＝，x2＝－1，x1≠x2. a－41 x1是原方程的解当且仅当＋a>0，即a>2； x11 x2是原方程的解当且仅当＋a>0，即a>1. x2于是满足题意的a∈(1,2]． 综上所述，a的取值范围为(1,2]∪{3,4}． 1111 ＋a?>log2?＋a?， (3)当0 函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值分别为f(t)，f(t＋1)． 1?1??1＋a??f(t)－f(t＋1)＝log2?t＋a?－log2?t＋1?≤1，即at2＋(a＋1)t－1≥0，对任意t∈??2，1?成??立． 1?1 ，1上单调递增，t＝时，y有最小值因为a>0，所以函数y＝at2＋(a＋1)t－1在区间??2?2 31a－. 42 312由a－≥0，得a≥. 423 2 ，＋∞?. 故a的取值范围为?3?? 10．解：(1)f′(x)＝3ax2＋6x＋3，f′(x)＝3ax2＋6x＋3＝0的判别式Δ＝36(1－a)． ①若a≥1，Δ≤0，则f′(x)≥0，且f′(x)＝0当且仅当a＝1，x＝－1， 故此时f(x)在R上是增函数． ②由于a≠0，故当a<1时，f′(x)＝0有两个根： －1＋1－a－1－1－a x1＝，x2＝， aa