第四章 练习二 （方差）
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一、填空题：
1、设随机变量X与Y独立，又X~P(2)，Y~B(8,)，则D(X?2Y)? 8 14解：?D(X)?2,D(Y)?8?1333???D(X?2Y)?D(X)?4D(Y)?2?4??8 44222、随机变量X服从参数(n,p)的二项分布，且已知E(X)=40，D(X)=24，
则此二项分布中参数n?100，p?0.4。
解：E(X)?np?40，D(X)?np(1?p)?24，?p?0.4?n?100 3、设随机变量X1,X2,X3相互独立，X1在区间[0，6]上服从均匀分布，X2～N(0,4),
X3服从参数为3的指数分布，若Y?2X1?X2?X3,则D(Y)= 25。
解：?D(X1)?3，D(X2)?4，D(X3)?9，
?D(Y)?4D(X1)?D(X2)?D(X3)?4?3?4?9?25 4. 设随机变量X的方差D(X)=5，则
(1)E[2X(X?E(X))]? 10; (2)若E(X)=2，则E[X(X?3)]?3。
解：E[2X(X?E(X))]?2E[X?XE(X)]?2{E(X)?[E(X)]}?2D(X)?10
222E[X(X?3)]?E(X)?3E(X)?D(X)?[E(X)]?3E(X)?5?4?6?3
2215.设随机变量X与Y独立，且?X?3? ～N(1,1), ?Y?2? ～N(0,1),则
22X?3Y~N(4,25) 解：由已知得：E{1?X?3?}?1?E(X)?5，D[1?X?3?]?1?1D(X)?1，224?D(X)?4；E?Y?2??E(Y)?2?0?E(Y)?2，D?Y?2??1?D(Y)?1 E(2X?3Y)?2E(X)?3E(Y)?2?5?3?2?4 D(2X?3Y)?4D(X)?9D(Y)?4?4?9?1?25 ?2X?3Y~N(4,25)
第四章 练习二 （方差）
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?1,X?0?6.设随机变量X在区间[－1，2]上服从均匀分布， Y??0,X?0，则D(Y)= 。
??1,X?0??1?,解：?f(x)??3?0,??1?x?2;其他，?Y的分布律为：
Y P 1 -1 2 31 3其中P{Y?1}?P{X?0}??2012dx?，331 3P{Y?0}?P{X?0}?0，P{Y??1}?1?P{X?0}?181222?E(Y)?,E(Y)?1,D(Y)?E(Y)?[E(Y)]?1?? 993二、解答题：
?1?x , -1?x?0;?0?x?1,求D(X) 。 1、已知随机变量X的密度函数为f(x)??1?x,?0 , 其它 ?解：
xx0xx1E(X)??xf(x)dx??x(1?x)dx??x(1?x)dx?(?)?1?(??0???10232303434??01xx0xx112222E(X)??xf(x)dx??x(1?x)dx??x(1?x)dx?(?)?(?????1034?134061122D(X)?E(X)?[E(X)]??0? 66??012323?0,x?0?32、随机变量X的分布函数为F(x)??x,0?x?1, 求E(X)，D(X).
?1,x?1?2??3x,解：f(x)?F?(x)????0,0?x?1其他,
E(X)?2?????xf(x)dx?2?103xdx?334x410?1034 E(X)??????xf(x)dx??10343xdx?x54?35 第四章 练习二 （方差）
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3?3?322D(X)?E(X)?[E(X)]?????5?4?80 3、某篮球运动员投篮三次,第一次投中的概率为0.6,第二次投中的概率为0.7,第三次投中的概率为0.9,设各次投篮的结果是相互独立的,X表示投中的次数,试将X分解成若干个简单随机变量之和: X?2?iXi,并由此求该运动员三次投篮平均投中的次数.
解：Xi???1第i次投中?0第i次没投中0 1 0.6 X1 P X2 P 0 0.3 1 0.7 X3 P 0 0.1 1 0.9 0.4 E(X1)?0.6,E(X2)?0.7,E(X3)?0.9
显然该运动员三次投篮投中的次数X?X1?X2?X3
E(X)??E(Xi)?E(X1)?E(X2)?E(X3)?0.6?0.7?0.9?2.2
i三．证明题：设X是一随机变量，E(X)=?，D(X)=?2?0，证明：对任意实数c,不等式
E(X?c)?E(X??)成立
证明: E(X?c)?E(X?2cX?c)?E(X)?2cE(X)?c
2222222?D(X)?[E(X)]?2cE(X)?c?D(X)?[E(X)?c]?D(X)?E(X??)
2222