?(s)?20
(s?3?j4.24)(s?3?j4.24)30b
s(s?40)
（2）做等效开环传递函数G?(s)=
① 实轴上的根轨迹：??40,?0? ② 分离点： 解得：d??20
根轨迹如图解4-14(b)所示，
11??0 dd?40图解4-14(b) 根轨迹图 当b?2时，两个闭环特征根为?1??38.44，?2??1.56 此时闭环传递函数为
?(s)?30(s?2)
(s?1.56)(s?38.44)4-16解 作等效开环传递函数 G(s)??a(s?1)a(s?1)?
s3?5s2?6ss(s?2)(s?3)当a?0时，需绘制180根轨迹。
① 实轴上的根轨迹： ??3,?2?，??1,0?
?2?3?1?????2??a3?1② 渐近线： ?
(2k?1)???????a?3?12?③ 分离点：
1111 ???dd?2d?3d?1解得 d??2.47
分离点处的根轨迹增益可由幅值条件求得： K?d?dd?2d?3d?1?0.4147
根据以上计算，可绘制出系统根轨迹如图所示。由
根轨迹图解4-16(a)可以看出，当0?a?0.4147时，多项式的根全为实数。
?当a?0时，需绘制0根轨迹。实轴上的根轨迹区段为：???,?3?，??2,?1?， ?0,??。
由根轨迹图图解4-16(b)可以看出，当a?0时，多项式的根全为实数。因此所求参数a的范围为0?a?0.4147或a?0。
*4-17解 ⑴ Gc1(s)?K时
K*系统开环传递函数为G(s)?2
s(s?2) 根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹： (??,?2]
?22???????a33② 渐近线： ?
???(2k?1)????,?a?33?根轨迹如图解4-17(a)所示。
?⑵ Gc2(s)?K(s?3)；
K?(s?3)系统开环传递函数为G(s)?2，根轨迹绘制如
s(s?2) 下：
① 实轴上的根轨迹： ??3,?2?
?2?(?3)1????图解4-17(b) 根轨迹图 ??a22② 渐近线：? (2k?1)???????a?22?根轨迹如图解4-17(b)所示。
?⑶ Gc3(s)?K(s?1)
K?(s?1)系统开环传递函数为G(s)?2。
s(s?2) 根轨迹绘制如下：
① 实轴上的根轨迹： ??2,?1?
?2?(?1)1???????a22② 渐近线： ?
(2k?1)???????a?22?根轨迹如图解4-17(c)所示。
图解4-17(c) 根轨迹图 ?从根轨迹图中可以看出，比例加微分控制器Gc(s)?K(s?zc)的加入使根轨迹向左移
动，且当zc?p时系统趋于稳定，附加开环零点越靠近虚轴这种趋势越强。
4-19解 根轨迹绘制如下： ① 实轴上的根轨迹： ???,?3?
?3?1?j?1?j5?????a??33② 渐近线：?
???(2k?1)????,?a?33? ③ 与虚轴的交点：系统闭环特征方程为
D(s)?s3?5s2?8s?6?K??0
把s?j?代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：
2???Re(D(j?))??5??6?K?0 ?3??Im(D(j?))????8??0????2.83解得： ??
K?34?根轨迹如图解4-19所示。
?图解4-19 根轨迹图 由?%?25%???0.4（??arccos0.4?66.4），在s平面作等阻尼线OA，使之与实轴夹角为?66.4。OA与根轨迹交点为?1，其余2个交点为?2，?3。 令 则
??1????n?j?n1??2??0.4?n?j0.92?n ?2????n?j?n1??2??0.4?n?j0.92?n
特征方程为
3222 D(s)?(s??1)(s??2)(s??3)?s?(0.8?n??3)s?(?n?0.8?n?3)s??n?3
?s3?5s2?8s?6?K?
?0.8?n??3?5?2比较系数得 ??n?0.8?n?3?8
?2?????6?K?n3??n?1.73?解得 ??3??3.616
???K?4.8由调节时间ts?10s, 又ts?3.5??n???n?3.5，当??n?0.35时，由根之和可得
?3??4.3，由幅值条件确定出对应的K??15.5。要求闭环系统的最大超调?%?25%，
??调节时间ts?10s，则K取值范围对应为 0?K?4.8。