专题15 椭圆、双曲线、抛物线
y2
1．已知方程2－2＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
m＋n3m－nA．(－1,3) C．(0,3) 答案 A
B．(－1，3) D．(0，3)
x2
x2y2
2．已知双曲线－2＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线
4b相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( ) A.－＝1 44C.－＝1 44答案 D
解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x＋y＝4，
2
x23y2x2y2
B.－＝1 43D.－＝1 412
x24y2x2
y2
b22
x＋y＝4，??联立?by＝x，??2
22
??x＝解得???y＝
44＋b2b，24＋b2
，
y2
??x＝
或???y＝
－44＋b－2b4＋b2，，
2
?4，2b?即第一象限的交点为?22?.
4＋b??4＋b由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为＝12.
故双曲线的方程为－＝1.故选D.
412
84＋b，2
8×4b2
，故2＝2b，得b2
4＋b4＋b4bx2
x2y21
3．已知F1，F2是双曲线E：2－2＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则
ab3E的离心率为( )
3
A.2B.C.3D．2
2答案 A
b2
解析 如图，因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝.
a
4．已知F1、F2为椭圆＋＝1的左、右焦点，若M为椭圆上一点，且△MF1F2的内切圆的周长等于3π，
2516则满足条件的点M有( ) A．0个 C．2个 答案 C
B．1个 D．4个
x2
y2
解析 由椭圆方程＋＝1可得a＝25，b＝16，
2516∴a＝5，b＝4，c＝3.
由椭圆的定义可得|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，且|F1F2|＝2c＝6， ∴△MF1F2的周长|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝10＋6＝16. 设△MF1F2的内切圆的半径为r， 3
由题意可得2πr＝3π，解得r＝.
2
x2y2
22
x2y2
5．已知圆x＋y＝上点E处的一条切线l过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点F，且与双曲线的右
16ab2
2
a2
→1→→
支交于点P，若OE＝(OF＋OP)，则双曲线的离心率是______________．
2答案
26 4
解析 如图所示，设双曲线的右焦点为H，连接PH，
由题意可知|OE|＝，
4→1→→由OE＝(OF＋OP)，
2可知E为FP的中点．
由双曲线的性质，可知O为FH的中点， 1
所以OE∥PH，且|OE|＝|PH|，
2
a