4.1 （1）设S={1，2}，R是S上的二元关系，且xRy。如果R=Is，则（A）；如果R是数的小于等于关系，则（B），如果R=Es，则（C）。
（2）设有序对
A、B、C：① x,y可任意选择1或2；② x=1,y=1；③ x=1,y=1 或 2；x=y=2；④ x=2,y=2；⑤ x=y=1或 x=y=2；⑥ x=1,y=2；⑦x=2,y=1。 D、E：⑧ 3；⑨ 2；⑩-2。 答案： A: ⑤ B: ③ C: ① D: ⑧ E: ⑩
4.2设S=<1,2,3,4>,R为S上的关系，其关系矩阵是
?1?1??0??1001?000?? 001??000? 则（1）R的关系表达式是（A）。 （2）domR=(B),ranR=(C).
（3）R?R中有（D）个有序对。
（4）Rˉ1的关系图中有（E）个环。 供选择的答案
A :①?<1,1>,<1,2>,<1,4>,<4,1>,<4,3>?； ②?<1,1>,<1,4>,<2,1>,<4,1>,<3,4>?；
B、C：③?1，2，3，4?；④?1，2，4?；⑤?1，4?⑥?1，3，4?。 D、E⑦1；⑧3；⑨6；⑩7。 答案： A:② B:③ C:⑤ D:⑩ E:⑦
4.3设R是由方程x+3y=12定义的正整数集Z+上的关系，即 {＜x,y＞︳x,y∈Z+∧x+3y=12}, 则 （1）R中有A个有序对。 （2）dom=B。
(3)R↑{2,3,4,6}=D。 (4){3}在R下的像是D。
（5）R。R的集合表达式是E。 供选择的答案 A:①2;②3;③4.
B、C、D、E:④{＜3，3＞}；⑤{＜3，3＞，＜6，2＞}；⑥{0，3，6，9，12}；
⑦{3，6，9}；⑧{3}；⑨Ф；⑩3。
答案：A：②。分别是：＜3，3＞＜6，2＞＜9，1＞ B：⑦。 C：⑤。 D：⑧。 E: ④。
4.4 设S={1,2,3},图4-13给出了S上的5个关系，则它们]只具有以下性质： R1是A, R2是B, R3是C, R4是D, R5是E。 供选择的答案
A,B,C,D,E:①自反的，对称的，传递的；②反自反的，反对称的； ③反自反的，反对称的，传递的；④自反的；⑤反对称的，传递的； ⑥什么性质也没有；⑦对称的；⑧反对称的；⑨反自反的，对称的； ⑩自反的，对称的，反对称的，传递的
A:④ B:⑧
C：⑨
D:⑤
E: ⑩
4．5 设Z+={x|x∈Z∧x>0},∏1, ∏2, ∏3是Z﹢的3个划分。 ∏1={{x}|x∈Z﹢},
∏2={S1,S2},S为素数集，S2=Z-S1,
∏3={Z+},
则 （1）3个划分中分块最多的是A,最少的是B.
(2)划分∏1对应的是Z+上的C, ∏2对应的是Z+上的D, ∏3对应的是Z+上的E
供选择的答案
A,B:①∏1;②∏2;③∏3.
C,D,E:④整除关系；⑤全域关系；⑥包含关系；⑦小于等于关系；⑧恒等关系；⑨含有两个等价类的等价关系；⑩以上关系都不是。 答案 A ① B ③ C ⑧ D ⑨ E ⑤
4.6 设S={1，2，…,10},≤是S上的整除关系,则
A: ① 一棵树; ② 一条链; ③ 以上都不对.
B、C、D、E: ④ ?；⑤ 1；⑥ 10；⑦ 6，7，8，9，10；⑧ 6；⑨ 0；⑩ 不存在。 答案：
A: ③(树中无环,所以答案不是①) B: ⑩ C: ⑤ D: ⑩
E: ⑤ 4.7设f:N→N,N为自然数集，且
?1,若x为奇数，? f?x???x，若x为偶数，??2则f（0）=A，f供选择的答案
A、B、C、D、E：①无意义；②1；③{1}；④0；⑤{0}；⑥⑧{1，3，5，…}；⑨{解：f（0）=
??0???B,f??1,2???C,f?1,2??D,f??0,2,4,6,????E.
1；∴⑦N； 21，1}；⑩ {2，4，6，…}. 20=0，∴A=④； 2f??0??={0}，∴B=⑤；
f??1,2??={1}，∴C=③；
f?1,2?①无意义； f??0,2,4,6,???=N，∴E=⑦.
4.8 设R、Z、N分别表示实数、整数和自然数集，下面定义函数f1、f2、f3、f4。试确定它们的性质。 f1: R→R，f(x)=2x, f2: Z→N，f(x)=|x|.
f3: N→N，f(x)=(x)mod3,x除以3的余数， f4: N→N×N，f(n)=
则f1是A，f2是B，f3是C，f4是D，f4（{5}）=E。 供选择的答案
A、B、C、D：①、满射不单射；②、单射不满射；③、双射；④、不单射也不满射；⑤、以上性质都不对。
E：⑥、6；⑦、5；⑧、<5,6>;⑨、{<5,6>};⑩、以上答案都不对。 解：
f1是②、单射不满射；f2是①、满射不单射；f3是④、不单射也不满射；f4是②、单射不满射；f4（{5}）=⑨、{<5,6>}。
4.9 设f :R→R，f(x)= x2 ， x≥3, -2 , x<3; g:R→R，g(x)=x+2, 则 f〇g(x)=A,g〇f(x)=B, g〇f: R→R是 C,f-1是 D,g-1是E. 供选答案::
A\\B:① (x+2)2 , x≥3, ② x2+2 ， x≥3, -2 , x<3; -2 , x<3;
(x+2)2 , x≥1, x2+2 ， x≥3, ③ ④ -2 , x<1; 0 , x<3; C: ⑤ 单射不满射；⑥ 满射不单射；⑦ 不单射也不满射；⑧ 双射。 D、E：⑨ 不是反函数; ⑩ 是反函数。 解：A=③ B=④ C=⑦ D=⑨ E=⑩ 4.10 （1）设S={a,b,c},则集合T={a,b}的特征函数是（A），属于 §（S上S）的函数是（B）。
（2）在S上定义等价关系R=Is∪{< a,b >,< b, a>},那么该等价关系对应的划分中有(C)个划分.作自然映射g:S→S/R,那么g的表达式是(D). g(b)=(E). 供选择的答案
A、B、D：① {
答案： A: ③ B: ① C: ⑦ D: ⑤
E: ⑨
4.11 设S={1，2，……，6}，下面各式定义的R都是在S上的关系，分别列出 R的元素。
R = {
R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,3>,<3,6> ,<4,4>,<5,5>,<6,6>}.
( 2 ) R = {< x , y > | x , y ∈ S ∧ x是y的倍数}. 解: 由题意可知：
R={<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,3>,<4,1>,<4,2>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<6,1>,<6,2>,<6,3>,<6,6>} .
( 3 ) R = {< x, y> | x , y ∈S ∧ ( x - y )2= ∈ S }. 解: 由题意可知：
R={<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,3>,<2,4>,<3,1>,<3,2>,<3,4>,<3,5>,<4,2>,<4,3>,<4,5>,<4,6>,<5,3>,<5,4>,<5,6>,<6,4>,<6,5>}.
( 4 ) R = {< x , y > | x , y ∈S ∧ x / y是素数 } 解：由题意可知：
R={<1,1>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,3>,<4,2>,<4,4>,<5,1>,<5,5>, <6,1>,<6,2>,<6,3>,<6,6>}.
4.13 S={a，b，c，d}，R1、R2为S上的关系， R1={
R2={
解:设R1的关系矩阵为M1，R2的关系矩阵为M2， 则