相似三角形
题型一 比例线段、平行线分线段成比例定理
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例 1 如图1，已知AB∥CD∥EF，AD∶AF＝3∶5，BE＝12，那么CE的长等于____．
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图1
【解析】 ∵AB∥CD∥EF，∴
ADBC3BC363624＝，即＝，∴BC＝，∴CE＝BE－BC＝12－＝. AFBE512555
左上右上
【点悟】 利用平行线分线段成比例定理解题时，要注意找好对应线段，通常用＝，左下右下左上右上
＝等关系分段寻找． 左全右全
变式跟进
1．[2017·镇江]如图2，△ABC中，AB＝6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′
E′，点D的对应点落在边BC上，已知BE′＝5，D′C＝4，则BC的长为__2＋34__．
图2
【解析】 ①由条件“DE∥AC”可得△BDE∽△BAC，即有＝；②由题意可得BE＝BE′＝5，
BDBEBABCx－45
BD＝BD′＝BC－D′C＝BC－4，AB＝6.设BC＝x，由①，②可列方程：＝，解得x＝2＋34
6x(负值舍去)，故BC的长为2＋34. 题型二 相似三角形的判定
例 2 [2017·祁阳期末]已知：如图3，∠1＝∠2，AB·AC＝AD·AE.
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图3
求证：∠C＝∠E.
证明：在△ABE和△ADC中，∵AB·AC＝AD·AE， ∴＝，又∵∠1＝∠2， ∴△ABE∽△ADC， ∴∠C＝∠E.
【点悟】 判定三角形相似的几条思路：(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的预备定理；(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角(用判定3)或找夹边成比例(用判定2)；(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；(4)条件中若有一对直角，可考虑一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；(5)条件中若有等腰关系，可找顶角相等，可找一对底角相等，也可找底和腰对应成比例．
变式跟进
2．[2017·随州]在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，512当AE＝__或__时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．
35【解析】 ∵∠A＝∠A，分两种情况：①当＝当＝时，△ADE∽△ACB，即
ABAEADACADAB265
时，△ADE∽△ABC，即＝，∴AE＝；②AEACAE53
ADACAEAB512512
＝，∴AE＝.综上所述，当AE＝或时，以A，D，EAE6535
2
为顶点的三角形与△ABC相似．
3．[2017·嘉兴模拟]已知：如图4，四边形ABCD是正方形，∠PAQ＝45°，将∠PAQ绕着正方形的顶点A旋转，使它与正方形ABCD的两个外角∠EBC和∠FDC的平分线分别交于点M和
N，连结MN.
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图4
(1)求证：△ABM∽△NDA；
(2)连结BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明． 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝90°，
∵BM，DN分别是正方形的两个外角平分线， ∴∠ABM＝∠ADN＝135°，∵∠MAN＝45°， ∴∠BAM＝∠AND＝45°－∠DAN， ∴△ABM∽△NDA；
(2)当∠BAM＝22.5°时，四边形BMND为矩形． 证明：∵∠BAM＝22.5°，∠EBM＝45°， ∴∠AMB＝22.5°，∴∠BAM＝∠AMB， ∴AB＝BM，同理AD＝DN， ∵AB＝AD，∴BM＝DN， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABD＝∠ADB＝45°， ∴∠BDN＝∠DBM＝90°，
∴∠BDN＋∠DBM＝180°，∴BM∥DN， ∴四边形BMND为平行四边形，
∵∠BDN＝90°，∴四边形BMND为矩形． 题型三 相似三角形的性质
例 3 如图5，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分(即图中的阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半，若AB＝2，则此三角形移动的距离AA′＝__2－1__．
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