____第37课__基本不等式及其简单应用(1)____
1. 掌握两个正数的算术平均数不小于它的几何平均数定理，了解其证明过程． 2. 能熟练地应用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
1. 阅读：必修5第96～98页．
2. 解悟：①什么是教材规定的基本不等式？需要怎样的使用条件？证明其正确性有哪几种证法？②基本不等式有几个常用的变形形式及其使用的条件？③“和定积最大”“积定和最小”是怎样得到的？请用符号语言表示出来；④教材必修5第98页关于基本不等式的几何解释，你能理解吗？
3. 践习：在教材空白处，完成必修5第98～99页练习第2、3、4、5题.
基础诊断
1. 已知mn＝8(m>0，n>0)，则m＋n的最小值为__42__．
解析：因为m>0，n>0，所以m＋n≥2mn＝42，当且仅当m＝n＝22时，等号成立． 2. 下列命题正确的是__②__．(填序号) 1
①函数y＝x＋的最小值是2；
x②函数y＝sinx＋③函数y＝
π1
0，?的最小值是2； ，x∈??2?sinx
x2＋5
的最小值是2；
x2＋4
4
④函数y＝2－3x－的最大值是2－43.
x
1
解析：对于①，当x>0时，y＝x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，当x＝0时，y＝x
x111
－x－?≤－2，当且仅当x＝y＝－1时取等号，故y＋无意义，当x<0时，y＝x＋＝－?x??xxπ1
0，?，＝x＋的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)，无最小值；对于②，因为x∈??2?所以sinx∈(0，xx2＋51π
1]，y＝sinx＋≥2，当且仅当sinx＝1，即x＝时取等号，故②正确；对于③，y＝2sinx2x＋4111
＝x2＋4＋2，令t＝x2＋4，则y＝t＋，t∈[2，＋∞)．因为y＝t＋在[2，＋∞)上
ttx＋4154
为增函数，所以ymin＝2＋＝，故③错误；对于④，当x>0时，y＝2－3x－≤2－222x
43x·x
23423
＝2－43，当且仅当x＝时取等号．当x<0时，y＝2－3x－≥2＋43.当且仅当x＝－
3x3时取等号，故④错误．
51
3. 已知x<，则函数f(x)＝4x－2＋的最大值为__1__．
44x－5
511
解析：因为x<，所以4x－5<0，所以y＝4x－2＋＝4x－5＋＋3＝3－(5－
44x－54x－5
114x＋)≤3－2＝1，当且仅当x＝1时取等号，所以f(x)＝4x－2＋的最大值为1.
5－4x4x－5
11
4. 设a>0，b>0，且a＋b＝1，则＋的最小值为__4__．
ab
11?1＋1?＝1＋a＋b＋1＝2＋b＋a≥2＋2解析：因为a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)·?ab?abbaabba1
4，当且仅当＝，即a＝b＝时，取等号．
ab2
范例导航
考向? 通过简单构造和变形，运用基本不等式求最值 1
例1 求函数f(x)＝x＋(x>2)的最小值．
x－2解析：因为x>2，所以x－2>0， 1
所以f(x)＝x－2＋＋2≥2
x－2
11
（x－2）·＋2＝4，当且仅当x－2＝，即x＝
x－2x－2
ba·＝ab
3∈(2，＋∞)时取等号．所以当x＝3时，函数f(x)min＝4.
2x
当x>0时，求函数f(x)＝2的最大值．
x＋1
2x2221
解析：因为x>0，所以f(x)＝2＝2＝≤＝1，当且仅当x＝，即x
1xx＋1x＋11x＋2x·xxx＝1∈(0，＋∞)时，取等号，所以当x＝1时，函数f(x)max＝1.
a
【注】 本例突出构造x＋型，利用基本不等式求最值，解题中时刻关注“正、定、等”
x条件的存在．
考向? 通过常值代换，运用基本不等式求最值 11
例2 已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，求＋的最小值．
xy
解析：方法一：因为2x＋y＝1， yx
又因为x>0，y>0，所以>0，>0，
xy112x＋y2x＋yy2x
所以＋＝＋＝3＋＋≥3＋2xyxyxy
y2x·＝3＋22， xy
y2x2
当且仅当＝，即y2＝2x2，y＝2x，即当x＝1－，y＝－1＋2时取等号，
xy2所以当x＝1－211
，y＝－1＋2时，＋的最小值为3＋22. 2xy
方法二：因为2x＋y＝1，
yx
又因为x>0，y>0，所以>0，>0，
xy11?11y2x
＋＝3＋＋≥3＋2所以＋＝(2x＋y)??xy?xyxy以下同方法一．
如图，已知函数y＝ax＋b(b>0)的图象经过点(1，3)．求
41
＋的最小值. a－1b
y2x
·＝3＋22， xy
解析：因为函数y＝ax＋b(b>0)的图象经过点(1，3)，所以a＋b＝3. 又由图象可知a>1.
因为b>0，所以1
2ba－172419
当且仅当＝，即a＝，b＝时取得等号，所以＋的最小值为.
332a－12ba－1b【注】 本例突出“将式子中的常数代换成需要的代数式”，通过计算变形转化为含有a
x＋的形式，利用基本不等式求最值，解题中时刻关注“正、定、等”条件的存在. x考向? 参数的取值范围与恒成立问题
4
例3 设k>0，若关于x的不等式kx＋≥5在区间(1，＋∞)上恒成立，求实数k的
x－1取值范围．
解析：因为x>1，所以x－1>0.
4
因为k>0，kx＋≥5，
x－14
所以k(x－1)＋≥5－k，
x－14
所以k(x－1)＋≥2
x－1
4
k（x－1）·＝4k，
x－1
a－15412（a－1＋b）1（a－1＋b）52b
＋＝＋·＝＋＋≥＋2
2b2a－12b2a－1ba－1
2ba－1
·＝a－12b
4
当且仅当k(x－1)＝时取等号．
x－1所以4k≥5－k，即(k)2＋4k－5≥0， 所以k≥1，所以k≥1，
所以实数k的取值范围是[1，＋∞)．
【注】 本例重点学习“将恒成立问题转化为用基本不等式解决”，要关注式子的结构形式及转化途径，在运用基本不等式时，紧紧抓住“正、定、等”.
【变式题】 已知不等式x2＋a|x|＋1≥0 对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围． 解析：当x＝0时，不等式x2＋a|x|＋1≥0恒成立； 当x≠0时，因为x2＋a|x|＋1≥0，
x2＋11
|x|＋?， 所以a≥－＝－?|x|??|x|1
因为|x|＋≥2，
|x|
当且仅当x＝±1时取等号， 1
|x|＋?≤－2， 所以－?|x|??所以a≥－2.
自测反馈
4191. 已知0 x4－x4 x＋（4－x）44－x411x159 解析：因为＋＝(＋)＝1＋＋＋≥＋1＝，当 x4－x4x4－xx44（4－x）444－xx8 且仅当＝，即x＝时取等号． x34（4－x） 2. 已知正实数x，y满足(x－1)(y＋1)＝16，则x＋y的最小值为__8__． 1616 解析：因为正实数x，y满足(x－1)(y＋1)＝16，所以x＝＋1，所以x＋y＝＋y y＋1y＋1＋1≥2 16（y＋1）·＝8，当且仅当y＝3，x＝5时取等号，所以x＋y的最小值为8. y＋1 11 3. 设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝23，则＋的最大值为__1__． xy1111 解析：因为ax＝by＝3，所以x＝loga3＝，y＝logb3＝，所以＋＝log3a＋log3b log3alog3bxya＋b? ＝log3ab≤log3??2?＝1，当且仅当a＝b＝3时取等号． 4. 已知正数x，y使得x＋22xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为__2__． x＋22xy解析：因为正数x，y满足x＋22xy≤λ(x＋y)恒成立，所以λ≥.因为22xy≤x x＋yx＋22xyx＋x＋2y ＋2y，所以≤＝2，所以λ≥2，所以实数λ的最小值为2. x＋yx＋y 1. 应用基本不等式求最大(小)值时，要注意“一正、二定、三相等”． 2. 利用基本不等式求最值中，条件最值问题往往运用常数的代换，凑成基本不等式的形式求解最值． 2 3. 你还有哪些体悟，写下来：