“错位相减法”的起源
——兼谈等比数列的教学设计
嘉兴市秀州中学 屠新跃
在传统的数学教学中，教师往往注重于对数学解题思路和方法的分析总结，注重一题多解，变式训练等，这些已被实践证明是行之有效的。但是在具体的数学教学过程中，如何加大学生对教学的参与度，充分体现学生的主体地位，恰如其分地发挥教师的主导作用，还数学知识的本来面目，让学生真正体验数学知识的形成和发展过程，从而培养学生的数学思维能力，是需要我们教师反思和探讨的。而数学研究（探究）性学习是高中数学课程中一种新的教学和学习方式，它有助于学生了解数学概念和结论产生的过程，理解直观和严谨的关系，尝试数学研究的过程，体验创造的激情，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神；有助于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯。培养学生发现、提出、解决数学问题的能力；有助于发展学生的创新意识和实践能力。下面结合等比数列前n项和的教学案例，谈一谈在数学教学中笔者是如何开展研究性学习的。
一、问题的提出
设置情境：古代印度时，为了奖赏国际象棋的发明者，当时的国王答应了发明者的一个要求：在棋盘的第1个格子放上1颗麦粒，第2个格子放2颗麦粒，第3个格子放4颗，第4个格子放8颗，依此类推，每个格子放的麦粒数是前一个格子放的麦粒数的2倍，直到第64个格子上放2颗麦粒。国王认为这件事能办到，就欣然同意了，你认为国王能满足他的要求吗？
教师应该为学生提供较为丰富的数学探究课题的案例和背景材料。以这个实际问题为背景来引入，有利于增强学生的学习兴趣，激发学生的探究欲望。64个格子上的麦粒构成了一个等比数列，因此问题转化为求1?2?2???2的和，就涉及到怎样求等比数列前n项和这个课题。
26363二、问题的探究
在教学过程中，不少教师以课本为依照，采用“错位相减法”来推导Sn的公式，并注意归纳这种求和的方法，把教学重点放在如何正确使用求和公式，明确区分公比q?1和q?1两种情况，渗透了分类讨论的数学思想，总体设计较合理。可惜没有对求和公式的推导过程进行探究，特别是不能解决“错位相减法”的由来，是怎么想到要两边同乘以公比q的呢？这对学生数学自主探究能力、实践能力和合作交流能力的培养，无疑是一种资源的浪费。要突破这个难点，教师必须要进行适合学生的研究性教学的设计，教师应成为学生进行数学探究的组织者、指导者、合作者。引导和帮助他们而不是代替学生发现和提出探究课题，特别应该鼓励和帮助学生独立地发现和提出问题；组织和鼓励学生合作地解决问题；一方面应该鼓励学生独立思考，帮助学生建立克服困难的毅力和勇气，另一方面应该指导学生在独立思考的基础上用各种方式寻求帮助；中学生需要的时候，教师应该成为学生平等的合作者，教师要有勇气和学生一起进行探究。
通过对教材的分析、研究，有这样的设计：想要探求等比数列前n项和公式，即先让学生尝试能否用等Sn?a1?a2???an即Sn?a1?a1q?a1q2???a1qn?1 ①，
差数列的Sn求法——倒序相加，这样的类比迁移行不通，就要找另外的思路。想一想已学的知识中，一般数列中an与Sn有什么关系？是Sn?Sn?1?an（n≥2），那么在等比数列中Sn?1?a1?a1q?a1q2???a1qn?2，于是有学生把①式写成Sn?Sn?1?a1qn?1，但这样不能求出Sn；重新探究①式的右边，由 Sn?a1?a1q?a1q2???a1qn?1=
a1?q(a1?a1q???a1qn?2)，就可以得到Sn?a1?qSn?1，将Sn?1?Sn?an代入，
则Sn?a1?q(Sn?an)，有Sn?qSn?a1?anq ②，即(1?q)Sn?a1?anq，能否两边同除以(1?q)呢？不能。当1?q?0即q?1时，是常数数列，显然Sn?na1；只有当1?q?0即q?1时，Sn?a1?anq?，又研究：得到的式子对任意的n?N都成立吗？
1?q回顾前面探索过程中的n≥2，所以还要验证n=1，当q?1，S1?a1，当q?1，
S1?a1?a1q?a1 都成立，到这完成公式推导，再把通项公式an?a1qn?1代入，就得
1?qa1(1?qn)当q?1时，公式的另一种表达式为Sn?。
1?q 深入探究②式左边中的qSn，而qSn?a1q?a1q2???a1qn?1?a1qn，你能发现它与①式中右边有哪些相同的项？是a1q,a1q2,?a1qn?1，所以有
Sn?a1?a1q?a1q2??a1qn?1 qSn? a1q?a1q2???a1qn?1?a1qn
左右两边作差就是②式了。反思上面的过程，原来只要在①式两边同乘以（除以行吗？可以）公比q，就能出现相同的项（为什么？等比数列的定义可知），于是相减就可以了。
从形式上看，这些相同项的位置错开了，所以我们把这种方法叫做“错位相减法”。 再应用求和公式解1?2?2???2不成这个承诺了。
263?264?1，约重1700亿吨麦子，国王十辈子也完
以上的研究性学习设计，巩固了等比数列定义、通项公式，结合运用了an与Sn的重要关系，而且通过启发学生对思维过程的反思、监控和调整，优化了学生自身的思维品质，也从中“享受”到了数学知识的形成过程，从而主动地建构了“错位相减法”。
三、意外的收获
在第一个班教学时，教师如愿以偿地完成了以上的设计。但到第二个班教学时，却发生了意外，情境引入刚结束，就有学生表示他能求1?2?2???2的值，这是教师事先没有预想到的，大大出乎意料。为了让学生充分展示和暴露自己的思维过程，并没有打断学生的发言：
2234由于1?2?3?2?1，1?2?2?7?2?1，1?2?2?2?15?2?1，
23263……按此规律得1?2?2???2?2?1，教师评价：很好的一次归纳猜想！
干脆来个顺藤摸瓜，也体现了教学民主。沿着学生的思路，请同学们一起来探究：结论推广到一般， 1?q?q2???qn?1?qn?1成立吗？有同学发现不成立，举出反例：当q?3，n?2时不相等。启发学生，能不能进行逆向思维，考察这些式子的右边，取n的特殊值，当n?2时q2?1?(q?1)(q?1)，再当n?3时
26364q3?1?(q?1)(q2?q?1)，归纳猜想出(q?1)(1?q???qn?1)?qn?1 ③，只要把
③式左边展开就证明了。Sn?a1?a1q?a1q2??a1qn?1?a1(1?q?q2??qn?1)， 在③式两边同乘以a1（a1?0），则(q?1)Sn?a1(qn?1)，即(1?q)Sn?a1(1?qn)，这就是前面的②式，以下就类同了。
研究性学习的开展，可以提高学生探究、分析和解决问题的能力，也迫使教师改变陈旧过时的教学方法，认真自觉地钻研教学，才能紧跟教学改革的步伐，适应新课程标准的要求。在研究性学习教学中，教师应努力成为数学探究的创造者，要有比较开阔的数学视野，了解与中学数学知识有关的扩展知识和内存的数学思想，认真思考其中的一些问题，加深对数学的理解，提高数学能力，为指导学生进行数学探索做好充分的准备，并积累指导学生进行数学探究的资源。还要注重倾听学生的心声，尊重学生的想法，应具有较强的教学应变能力和教学机智，这样的研究性学习才是学生自己的真正的主动的探究。甚至于表面上的一次教学“失败”，都能让教师领悟到“教学相长”的真谛所在！