2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书:第二章 6 第6讲 对数与对数函数

第6讲 对数与对数函数

1.对数 概念 如果ax=N(a>0,a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN.其中a叫做对数的底数,N叫做真数 底数的限制:a>0,且a≠1 对数式与指数式的互化: ax=N?logaN=x 性质 负数和零没有对数 1的对数是零:loga1=0 底数的对数是1:logaa=1 对数恒等式:alogaN=N loga(M·N)=logaM+logaN 运算性质 Mloga=logaM-logaN NlogaMn=nlogaM(n∈R) logcb公式:logab= logca换底公式 (a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0) n1推广:logambn=logab;logab= mlogba2.对数函数的图象与性质 a>1 00,且a≠1, M>0, N>0 图象 定义域:(0,+∞) 值域:R 性质 当x>1时,y>0 当0

过定点(1,0) 当x>1时,y<0 当00 在(0,+∞)上是减函数

在同一平面直角坐标系中,分别作出对数函数y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx(a>1,b>1,0<c<1,0<d<1)的图象,如图所示.

作出直线y=1,分别与四个图象自左向右交于点A(c,1),B(d,1),C(a,1),D(b,1),得到底数的大小关系是:b>a>1>d>c>0.根据直线x=1右侧的图象,单调性相同时也可以利用口诀:“底大图低”来记忆.

4.反函数

指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.

[疑误辨析]

判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)loga(MN)=logaM+logaN.( ) (2)logax·logay=loga(x+y).( )

(3)函数y=log2x及y=log13x都是对数函数.( )

3

(4)对数函数y=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上是增函数.( ) (5)函数y=ln

1+x

与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.( ) 1-x

1

,-1?,函数(6)对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),??a?图象只经过第一、四象限.( )

答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]

1.(必修1P68练习T4改编)(log29)·(log34)=________. lg 9lg 42lg 32lg 2

解析:(log29)·(log34)=×=×=4.

lg 2lg 3lg 2lg 3答案:4

2.(必修1P73探究改编)若函数y=f(x)是函数y=2x的反函数,则f(2)=________. 解析:由题意知f(x)=log2x, 所以f(2)=log22=1. 答案:1

3.(必修1P71表格改编)函数y=loga(4-x)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过点________.

解析:当4-x=1即x=3时,y=loga1+1=1. 所以函数的图象恒过点(3,1). 答案:(3,1)

111

4.(必修1P82A组T6改编)已知a=2-,b=log2,c=log1,则a,b,c的大小关系

3332

为________.

1

解析:因为01.所以c>a>b.

32答案:c>a>b [易错纠偏]

(1)对数函数图象的特征不熟致误; (2)忽视对底数的讨论致误; (3)忽视对数函数的定义域致误.

1.已知a>0,a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是________.(填序号)

解析:函数y=loga(-x)的图象与y=logax的图象关于y轴对称,符合条件的只有②. 答案:②

2.函数y=logax(a>0,a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a=________. 解析:分两种情况讨论:①当a>1时,有loga4-loga2=1,解得a=2;②当0

有loga2-loga4=1,解得a=.所以a=2或.

22

1

答案:2或

23.函数y=

log2(2x-1)的定义域是________.

3

解析:由log2(2x-1)≥0,得0<2x-1≤1.

3

1

所以

2所以函数y=1?

答案:??2,1?

1?

log2(2x-1)的定义域是??2,1?.

3

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