几何变换：作业共10题，每题10分，总分100分
1. 有如下使用矩阵表示的三维几何变换：
?x'??0?10??x??y'???100??y? ????????z'????001????z??辅助说明（不计成绩）：
1）3*3矩阵的3个列向量与3个行向量分别形成两个基向量集，即两个坐标系，这里分别称为列坐标系与行坐标系。
2）在矩阵中，列坐标系中各基向量（矩阵的3个列向量）的坐标是在假定行坐标系为单位正交坐标系（基向量的模为1，且基向量两两正交）前提下，由行坐标系测量的坐标；相似地，行坐标系中各基向量（矩阵的3个行向量）的坐标是在假定列坐标系为单位正交坐标系的前提下，由列坐标系测量的坐标。 3）对于此题给出的矩阵，假定行坐标系单位正交，则测量出的列坐标系也单位正交；反之，假定列坐标系单位正交，则测量出的行坐标系也单位正交；此矩阵描述的是两个单位正交坐标系间的坐标系变换，矩阵是一个单位正交阵（旋转矩阵）。
?x'???y'（1） 试解释其中的一种运算：?????z'???0???x?1????0????1??0???z?0?； y?0???????0???1??答：
1）使用考察向量在列坐标系下测量的坐标作为系数（线性组合中的各个系数x、
y、z用于调节各列基向量的模，实质上这些系数是坐标变换前，考察向量在列
坐标系下测量的坐标，否则这样的线性组合运算无意义），对矩阵中列坐标系的3个基向量实施线性组合，重新组合为考察向量后（这里理解为向量不变，坐标系、坐标变化），其坐标变换为行坐标系下测量的坐标；
2）此运算的含义是已知考察向量的列坐标系坐标，以坐标和基向量（矩阵中的列）为基础，使用线性组合得到考察向量；（简言之，由坐标计算得到向量） 3）由于3个基向量的坐标为行坐标系下的坐标，则组合后的组合向量坐标亦为行坐标系下的坐标，由此，考察向量的坐标从列坐标系坐标变换到行坐标系坐
标。
（提示：如果矩阵为单位矩阵，行、列坐标系重叠，则列坐标系基向量的坐标可视为自身测量的坐标，从而线性组合后考察向量的坐标也不发生变化）
?x'??0?????1?y'（2） 试解释其中的一种运算：???????z'????0??T?x??1??y???0???????z????0??T?x??0??y???0???????z????1??T?x??y?； ????z??答：
1）使用列坐标系下测量的考察向量，向矩阵中行坐标系的3个行向量投影，得到考察向量在行坐标系下测量的坐标； 2）由于考察向量变换前的坐标?xTyz?是列坐标系下测量的（前一小题已作
解释），那么，内积（投影）运算要能够得以进行，对于矩阵中行坐标系的3个基向量，它们的坐标也必须是列坐标系下测量的，因为只有同一坐标系下测量的向量在一起运算才会有意义；
3）由于是向行坐标系各基向量投影，此运算的含义是在列坐标系下完成考察向量向行坐标系各基向量的投影运算，得到的各投影值即为考察向量在行坐标系下测得的坐标（简言之，由向量计算得到坐标）；
（提示：如果矩阵为单位矩阵，行、列坐标系重叠，从而重新投影后考察向量的坐标也不发生变化）
（3） 试作图描述矩阵行向量集与列向量集分别表示的坐标系（作在同一图中）
Z、Z’
X’ O、O’分别为行、列坐标系
的原点，它们是重叠的；X、Y、Z是列坐标系的基向量，X’、Y’、Z’是行坐标系的基向量；行坐标系与列坐标系均为单位正交坐标系，两个坐标系间有些基向量是相互重叠的。
O、O’
Y
X、Y’
2. 二维空间中有如下单位正交阵表示的旋转变换：
?22?22???
22??22（1） 假定行向量集对应的坐标系（行坐标系）为单位正交坐标系，试作图描述
单位正交的行坐标系下，各列向量的方位，观察其是否单位正交（各列模为1，且相互正交）；
Y X’ 2 22 ? 2Y’ X、Y为行坐标系的基向量，X’、Y’为列坐标系的基向量；以行坐标系测
2 2量列坐标系的基向量，相互正交。
X
（2） 假定列向量集对应的坐标系（列坐标系）为单位正交坐标系，试作图描述
单位正交的列坐标系下，各行向量的方位，观察其是否单位正交（各行模为1，且相互正交）；
Y 2 2 Y’ X、Y为列坐标系的基向量，X’、Y’为行坐标系的基向量；以列坐标系测量行坐标系的基向量，相互正交。
X 2 22 ? 2X’
（3） 试结合上面两个小题的结论，试解释为何旋转矩阵的转置矩阵与逆矩阵等
价。 答：
1）此题可从矩阵列向量集的线性组合与行向量集的投影两种角度来解释，这里从行向量集（行坐标系）的角度来解释；
2）旋转矩阵为单位正交阵，用于描述两个单位正交坐标系间的坐标系变换，矩阵行向量的坐标是在列坐标系下测得的，列向量的坐标是在行坐标系下测得的；