全国名校高考数学复习优质学案高效专题训练汇编（附经典习题及详
解）
数列与函数的极限（1）
一、知识回顾 1、
数列极限定义
（1）定义：设{an}是一个无穷数列，a是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N，使得只要正整数n>N，就有|an-a|<ε，那么就称数列{an}以a为极限，记作limn??an=a。 对前任何有限项情况无关。
*（2）几何解释：设ε>0，我们把区间(a-ε，a+ε)叫做数轴上点a的ε邻域；极限定义中的不等式|an-a|<ε也可以写成a-ε 2、几个常用极限 ①limn??C=C（常数列的极限就是这个常数） ?0 ②设a>0，则特别地 limn??n qn?1;q??1,或q?1,limqn不③设q∈(-1，1)，则limq=0；q?1,limn??n??n??1n存在。 若无穷等比数列a1,aq,?,aqn?1?,q?1叫无穷递缩等比数列，其所 全国名校高考数学复习优质学案高效专题训练汇编（附经典习题及详 解） 有项的和（各项的和）为：s?limsn?n??3、数列极限的运算法则 如果 limn??a1 1?qan=A，limn??bn=B，那么(1) anA=(B≠0) bnBlimn??(an±bn)=A±B lim(2)limn??(an·bn)=A·B (3)n??an???；2、极限值不唯一，跳跃，极限不存在的情况是1、limn??如1，-1，1，-1…. 注意：数列极限运算法则运用的前提: (1)参与运算的各个数列均有极限; (2)运用法则,只适用于有限个数列参与运算,当无限个数列参与运算时不能首先套用. 二.基本训练 2n2?13n2?2n?21、lim= ；lim= 2n??n??3n2?2nn?n2、limn??1?3?5?????(2n?1)=_________________ 2?4?6?????2nan?cbn2?can2?c?2,lim2?3,则lim23．已知a、b、c是实常数，且lim的值n??bn?cn??cn?bn??cn?a是………（ ） 113 B. C. D.6 1262bn()?0，那么a与b的关系4．已知a、b都是实数，且a>0，如果limn??a?bA. 是………………（ ） A.a<2b B.－a<2b C.－a 全国名校高考数学复习优质学案高效专题训练汇编（附经典习题及详 解） D.－a 5.在等比数列中，a1>1,前项和Sn满足limSn?n??a21，那么a1的取值范围a1是……………………（ ） （A）（1，＋∞） （B）（1，4） （C）（1，2） （D）（1，2） 6.等比数列｛an｝中，a1=－1,前n项和为Sn，若 limSn?………………………（ ） n??S1031?,则S532（A） （B）－ （C）2 (D) －2 三、例题分析 例1求下列极限 (1)(3) limn??2323n3n2(2-) (2)limn??[n(n?1-n)] 2n?12n?1 1473n?2an(1?a)?(1?an?1)lim(2+2+2+…+2) (4)n??n?1(a≠1) nnnna(1?a)?(1?an)limn??例2：已知 limn??3n2?cn?1(?4n)=5，求常数a、b、c的值。 an2?bn例3．设数列a1，a2，…，an，…的前n项的和Sn和an的关系是 Sn?1?ban?1，其中b是与n无关的常数，且b≠―1 n(1?b)（1）求an和an－1的关系式； （2）写出用n和b表示an的表达式;（3） Sn 当0