第1章 线性空间和线性变换（详解）
1-1 证：用Eii表示n阶矩阵中除第i行，第i列的元素为1外，其余元素全为0的矩阵.用
第j列元素与第j行第i列元素为Eij(i?j,i?1,2,?,n?1)表示n阶矩阵中除第i行，1外，其余元素全为0的矩阵.
n(n?1)个.不难证明Eii，Eij是线性无关的，2n(n?1)n(n?1)且任何一个对称矩阵都可用这n+=个矩阵线性表示，此即对称矩阵组成
22n(n?1)维线性空间. 2n(n?1)同样可证所有n阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为.
2n(n?1)评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个维线性空间，只需找出
2n(n?1)n(n?1)个向量线性无关，并且集合中任何一个向量都可以用这个向量线性表示即22 显然，Eii，Eij都是对称矩阵，Eii有可.
1-2解: 令??x1?1?x2?2?x3?3?x4?4 解出x1,x2,x3,x4即可.
1-3 解：方法一 设A?x1E1?x2E2?x3E3?x4E4
即 ?故
?12??11??11??11??10? ?x?x?x?x1?2?3?4???????03??11??10??00??00??12??x1?x2?x3?x4 ????x1?x203???于是
x1?x2?x3?? x1?x1?x2?x3?x4?1,x1?x2?x3?2
x1?x2?0,x1?3
解之得
x1?3,x2??3,x3?2,x4??1
即A在E1,E2,E3,E4下的坐标为(3,?3,2,?1).
1
T方法二 应用同构的概念，R2?2是一个四维空间，并且可将矩阵A看做(1,2,0,3)T，
E1,E2,E3,E4可看做(1,1,1,1)T,(1,1,1,0)T,(1,1,0,0)T,(1,0,0,0)T.于是有
??11111??0003??11102??10100?3???11000????0102?? ?10003??0???0001?1??因此A在E1,E2,E3,E4下的坐标为(3,?3,2,?1)T.
1-4 解：证：设k1?1?k2?2?k3?3?k4?4?0
即
k?11??11???k?11?2??01???k?11?3??10???k?10?1?4??11?????k1?k
2?k3?k4k1?k2?k3??k1?k3?k4k?kk??012?4?于是
k1?k2?k3?k4?0,k1?k2?k3?0 k1?k3?k4?0,k1?k2?k4?0
解之得
k1?k2?k3?k4?0
故α1,α2,α3,α4线性无关. 设
??ab??cd???x?11?1??11???x?11?2??01???x?11??13??10???x4??1???x1?x2?x3?x4x1?x2?x3??x1?x3?x4x?1?x2?x4?于是
x1?x2?x3?x4?0,x1?x2?x3?0 x1?x3?x4?0,x1?x2?x4?0
解之得
x1?b?c?d?2a,x2?a?c
2
0?1??
x3?a?d,x4?a?b
x1,x2,x3,x4即为所求坐标.
1-5 解：方法一 （用线性空间理论计算）
?1???323?0?p(x)?1?2x???1,x,x,x???0????2??y1??y?23?2????1,x?1,(x?1),(x?1)???y?3???y4?又由于
23??1,x?1,(x?1),(x?1)???111?1?223?0???1,x,x,x???001??000
1? 3???3??1?23于是p(x)在基1,x?1,(x?1),(x?1)下的坐标为
?y1??1?y??0?2????y3??0????y4??03111??1??3??0??6?1?23???????
01?3??0??6??????001??2??2??1方法二 将p(x)?1?2x根据幂级数公式按x?1展开可得
p(x)?1?2x3p??(1)p???(1)(x?1)2?(x?1)3 2!3!?3?6(x?1)?6(x?1)2?2(x?1)3?p(1)?p?(1)(x?1)?23因此p(x)在基1,x?1,(x?1),(x?1)下的坐标为?3,6,6,2?.
T评注：按照向量坐标定义计算，第二种方法比第一种方法更简单一些.
1-6 解：①设
?β1,β2,β3,β4???α1,α2,α3,α4?P
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