专题13 旋转变换
例1 如图，连接OB1，OB2，B1B2，则OB1＝OB2，∠OB1B2＝∠OB2B1.又∠OB1C＝30°＝∠OB2C，∴∠CB1B2＝∠CB2B1，故CB1＝CB2.同理，B2D＝DC1.设CB1＝x，则CB2＝x，CD＝
3x，DC1＝DB2＝2x，于是x＋3x＋2x＝1?x?1，故S六边形ABCDEF＝
3?3SA2B2C2－3SB2CD＝31333233?3?x?3x??x??. 424244
例2 ∵N，M分别为线段AB，CB的中点，∴MN＝
111AC.同理MQ＝BD，PQ＝AC，222PN＝
1BD.∵AC＝BD，∴MN＝MQ＝PQ＝PN，∴四边形NMQP为菱形.∵MN∥AC，MQ2∥BD，∴AC⊥BD，∴∠NMQ＝90°，∴菱形NMQP为正方形.
例3 APM≌AP?C，AP＝AP?，由AP??APB＝?AP?C，P?C＝PB.连接PP?，＝AP得?APP?＝?AP?P，而?APB＜?APC，即?AP?C＜?APC，∴?PP?C＜?P?PC，于是P?C＞PC，即PB＞PC. 例4 （1）60° 45° （2）90°－
111? （3）∠AFB＝90°－? ∠AFB＝90°＋? 222对∠AFB＝90°－
1?证明如下：∵AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，∴△ABC∽△EDC，2BCAC?，∠BCD＝∠ACE，∴△BCD∽△ACE，得∠CBD＝∠CAE.DCEC180???BAC1?90???.
22得∠ACB＝∠ECD，
∵∠AQF＝∠BQC，∠CBD＝∠CAF，∴∠AFB＝∠ACB＝
例5 ∵?EBE?＝?ABC＝2?DEB，∴?EBD＝?E?BD.连接DE?.∵BD＝BD，
?EBD＝?E?BD，BE＝BE?，∴EBD≌E?BD，得ED＝E?D＝CD＝CE?，∴CDE?为正三角形，?DCE?＝60°，又BC＝CD＝CE’，则?E?BD＝?DCE?＝30°.∴
12?ABC＝?EBE?＝2?E?BD＝60?.
例6 将△ABE绕B点逆时针旋转60°，得△FBG，连接GE，FC，则△BEG为等边三角形，GE＝BE，∴FC≤FG＋GE＋EC，即FC≤EA＋EB＋EC，∵FC为定长，∴当E点落在FC上时，FC＝EA＋EB＋EC为最小值.∵∠FBC＝150°，FB＝BC，∴∠BCF＝∠BFC＝15°，而∠GEB＝60°，∴∠EBC＝45°，即E在正方形ABCD的对角线BD上.作FH⊥BC交CB延长线于H，设BC＝x，则FB＝x，FH＝
x3x，在Rt△FHC中，由，HB＝22x32(2?6)2?()2?(x?x)，得x＝2或x＝－2（舍去），即正方形的边长为2.
22例6题图
A级
1.1或5 2.6 150° 3.1 4 . 80或120 5.2-3 提示:如图,过B'作MN//AD，分别AB,CD于M,N,点B’C’交CD于K，则B’M=AB’sin60°=331,B’N=1-,AM=,Rt△AKB≌Rt△AKD,∠KAB’=
222∠KAD=15°,∠ADB’=75°,△ADK∽△DN B’,
DKAD1 ,DK=2-3,重叠部分面积=2S△AKD = 2??1?(2?3)?2?3 ?NB'DN2
6. 过P作PM丄AC于M,PN丄DF于N，可证明四边形PMGN为正方形,PM=
形PMGN
12,S重叠=S正方512144=()2?. 7.D 8.A 9.B 提示:将△CPA绕点A逆时针旋转60°到△C’AP’, 连结PP’, △525APP’ 为等边三角形.PB+PP’+P’C=PA+PB+PC＞AB+AC’=AB+AC.
10.(1)AE’=BF’.(2) 证法较多，如取OE’中点G,连结AG. 11.(1)AM=AN,∠MAN=?.(2) 第(1)问的结
论仍成立，理由如下:由△ABE≌△ACF得BE=CF,∠ABM=∠CAN,进一步可以证明△ABM≌△CAN. B 级
1.2 提示:MN=BM+CN 2.B 提示: △ACM≌△BCD.∠ACM=∠BCD,CM=CD,∠MCN=∠NCD=45°,又CN=CN,则△MNC≌△DNC,MN=ND=x,AM=BD=m,又∠DBN=45°+45°=90°,故m2+n2=x2. 3.D 4.3?3 提示:将△ADF'绕点A顺时针方向旋转90°,到△ABG. 的位置, 则△AEF≌△AEG. ∠AEF=∠AEG=∠FEC=60°,BE=1,EC=BC-BE=3?1, EF=EG=2(3?1),S△AEF=S△ABG=
1EG·AB=3?3. 25. (1)提示:延长BC至E,使CE=CD连结DE,证明△ACD≌△BED.(2)将△ABD绕点A旋转60°到△ACB’,连结B’D,B’P,则四边形AB’DP符合(1)的条件,于是B’P=PA+PD连结AC,则△ABD≌△ACB’.BD=B’C,B’C≤PB’+PC=PA+PD+PC,从而BD≤PA+PD+PC.
6. 直接解题有困难, △ABC绕点A逆时针旋转120°,240°拼成正△MBC(如图),则正△ADE变为正△AD1E1和正△AD2E2易知,六边形DE D1E1 D2E2是正六边形, △DD1D2是正三角形, 其面积是△ADE面积的3倍. .因此,设法由正△MBC面积为150求出△DD1D2的面积, 问题就解
1决了.注意到BD:DC=CD1:D1M=MD2:D2B=2:3, 连结DM, 则S△ADE=S△ABD=36cm2,而
3SMD1D2?SDCD2=36cm2. 同理,可得SDD1D2=150-3×36=42cm2,故S△ADE=
1S3DD1D2=14cm2.
7.如图,将BP,BO,BC绕点B沿顺时针方向旋转60°，变为BP'，BO’,BC’ 连结OO’,PP’,则 △BOO’, △BPP’ 都是正三角形.因此OO’=OB,PP’=PB, 显然△BO’C’ ≌△BOC, △BP’C ≌△BPC, 由于∠BO’C=∠BOC=120°=180°-∠BO’O,∴A,O,O’,C’ 四点共线.故AP+PP’+P’C≥