一个飞行管理问题
摘要
在某一空域里对飞机的飞行合理管理事关重大，比如乘客及机上工作人员生命财产安全和航空公司的运作效益等。本文通过对飞机飞行管理问题的研究，得到了调整飞机架数较少同时调整幅度均最小（平方和最小）的飞行管理最优安排的非线性模型，这样既使得乘客所受影响达到最少，也便于飞机调整，还有利于飞机回到原来的航线，同时还在决策时间上对模型进行了优化和调整。
本文不仅一般性地将不相撞的问题转化为欧式距离控制，而且很巧妙的将不碰撞条
件转化成简单的二次函数标准形式进行含参讨论，建立一个只含有转向角变量的模型。并且再次很妙的具体化区域内受控时间形成矩阵，大大得简化运算，节约了大量运算的时间，便于管理人员控制操作，从而确保飞机的安全。更重要的是最后结合实际缩短了搜索区间，并优化算法，使得决策更加高效。最后的延时检验也充分体现了模型的可靠性。
关键字：欧氏距离 约束转化 缩短搜索区间 时间矩阵 延时检验
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一、问题重述
在约10000米的高空某边长为160公里的正方形区域内，经常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和速度向量均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。当一驾欲进入该区域的飞机到达区域边缘时，记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角，以避免碰撞。现假定条件如下： 1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里； 2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度； 3）所有飞机飞行速度均为每小时800公里；
4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上； 5）最多需考虑6架飞机；
6）不必考虑飞机离开此区域后的状况。
请你对这个避免碰撞的飞机管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。 设该区域内4个顶点的坐标为(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。 记录数据为：
飞机编号 1 2 3 4 5 新进入 横坐标x 150 85 150 145 130 0 纵坐标y 40 85 155 50 150 0 方向角（度） 243 236 220.5 159 230 52 注：方向角指飞行方向与x轴方向的夹角。 试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。
二、问题分析
1初步分析
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根据问题容易知道，这显然是一个优化问题，当两架飞机可能发生碰撞时，即在规定区域内某一时刻两架飞机之间的距离小于8公里，因此要调整飞行方向一定角度，保证任意两架飞机在区域内任意时刻，两者的距离均不小于8公里，避免相撞。考虑到调整角度应尽量小，可以简化飞行方向调整策略，降低调整难度，同时减轻机内乘客及工作人员的不适。此外由此初步确定了调整目标：所有六架飞机的飞行方向调整角度均尽量小。
2解决方案
由于所有飞机均处于1000米得高空作水平飞行，可将飞机飞行的空域视为二维平面xoy中的一个正方形区域,顶点为(0,0),(160,0),(160,160),(0,160)。于是可以引入时间变量后，确定每架飞机在任意时刻的坐标，列出任意两点的欧氏距离，令其恒大于8公里，则得出一个重要约束条件。再结合变化角度应小于30度，即可得出约束条件，然后运用LINGO软件编辑程序进行求解。
为提高决策效率，在反复试验中又可对约束条件进行调整。
三、条件假设
1. 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离在以后任何一个时间里大于8公里； 2. 飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度； 3. 所有飞机飞行速度均为每小时800公里；
4. 进入该区域的飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应在60公里以上。即
在计算如何最优地调整各架（包括新进入的）飞机飞行的方向角时，飞行管理中心得出合理的最优调整措施，； 5. 最多需考虑6架飞机。
6. 此处忽略飞机在执行过程中所需耗费的时间，即假设从飞机管理中心发出的调整信
息飞机马上可以接收并执行，不存在滞后或延迟；
7. 飞行管理中心在计算飞行调整信号和发出信号所需时间内，忽略各架飞机（包括刚
进入的飞机）调整航向前飞行数据的变化； 8. 假定飞机在该区域内完全依赖飞行管理中心调度；
9. 假设飞机在飞出区域之后，飞行员可以自觉调整飞行策略，回归原始航线，即飞行
管理中心不必考虑飞机离开此区域后的状况。
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