函数、导数“任意、存在”型问题归纳

函数导数任意性和存在性问题探究

导学语

函数导数问题是高考试题中占比重最大的题型,前期所学利用导数解决函数图像切线、函数单调性、函数极值最值等问题的方法,仅可称之为解决这类问题的“战术”,若要更有效地彻底解决此类问题还必须研究“战略”,因为此类问题是函数导数结合全称命题和特称命题形成的综合性题目.常用战略思想如下:

题型分类解析

一.单一函数单一“任意”型

战略思想一:“?x?A,a?(?)f(x)恒成立”等价于“当x?A时,a?(?)f(x)max”;

f(x)上限aa?(?)f(x)min”“?x?A,等价于“当x?A时,. a?(?)f(x)恒成立”

2f(x)下限例1 :已知二次函数f(x)?ax?x,若?x?[0,1]时,恒有|f(x)|?1,求实数a的取值范围. 解:

|f(x)|?1,∴?1?ax2?x?1;即?1?x?ax2?1?x;

当x?0时,不等式显然成立,∴a∈R.

当0?x?1时,由?1?x?ax?1?x得:?而(11?)minx2x1111??a??, 22xxxx11?0,∴a?0. 又∵(?2?)max??2,∴a??2,??2?a?0,

xx2综上得a的范围是a?[?2,0]. 二.单一函数单一“存在”型

战略思想二:“?x?A,使得a?(?)f(x)成立”等价于“当x?A时,a?(?)f(x)min”;

“?x?A,使得a?(?)f(x)成立”等价于“当x?A时,a?(?)f(x)max”.

2f(x)上限f(x)下限a例2. 已知函数f(x)?alnx?x(a?R),若存在x?[1,e],使得f(x)?(a?2)x成立,求实数a的取值范围.

解析:f(x)?(a?2)x?a(x?lnx)?x2?2x.

∵x?[1,e],∴lnx?1?x且等号不能同时取,所以lnx?x,即x?lnx?0,

x2?2xx?[1,e], 因而a?x?lnx,

(x?1)(x?2?2lnx)x2?2x令g(x)?, x?[1,e],又g?(x)?2x?lnx(x?lnx)当x?[1,e]时,x?1?0,lnx?1,x?2?2lnx?0,

从而g?(x)?0(仅当x=1时取等号),所以g(x)在[1,e]上为增函数, 故g(x)的最小值为g(1)??1,所以a的取值范围是[?1,??). 三.单一函数双“任意”型

1

战略思想三:?x?R,都有\f(x1)?f(x)?f(x2)\?f(x1),f(x2)分别是 yx1x2xf(x)的最小值和最大值,|x1?x2|min是同时出现最大值和最小值的最短区间. 例3. 已知函数f(x)?2sin(的最小值为____.

解 ∵对任意x∈R,不等式f(x1)?f(x)?f(x2)恒成立, ∴f(x1),f(x2)分别是f(x)的最小值和最大值.

对于函数y?sinx,取得最大值和最小值的两点之间最小距离是π,即半个周期. 又函数f(x)?2sin(

战略思想四: ?x1,x2?A,\f(?x?若对?x?R,都有\f(x1)?f(x)?f(x2)\成立,则|x1?x2|?),

25?x?2?)的周期为4,∴|x1?x2|的最小值为2. 5yx1?x2f(x1)?f(x2))?\成立 22f(x2)f(x1)?f(x)在A上是上凸函数?f''(x)?0

Ox1x2x2例4. 在y?2x,y?log22x,y?x,y?cosx这四个函数中,当0?x1?x2?1时,使

\f(x1?x2f(x1)?f(x2))?\恒成立的函数的个数是( ) 22x1?x2f(x1)?f(x2))?\的函数,应是凸函22 A.0 B.1 C.2 D.3 解:本题实质就是考察函数的凸凹性,即满足条件\f(数的性质,画草图即知y?log22

>>闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌熼梻瀵割槮缁炬儳缍婇弻鐔兼⒒鐎靛壊妲紒鐐劤缂嶅﹪寮婚悢鍏尖拻閻庨潧澹婂Σ顔剧磼閻愵剙鍔ゆ繝鈧柆宥呯劦妞ゆ帒鍊归崵鈧柣搴㈠嚬閸欏啫鐣峰畷鍥ь棜閻庯絻鍔嬪Ч妤呮⒑閸︻厼鍔嬮柛銊ョ秺瀹曟劙鎮欏顔藉瘜闂侀潧鐗嗗Λ妤冪箔閹烘挶浜滈柨鏂跨仢瀹撳棛鈧鍠楅悡锟犮€侀弮鍫濋唶闁绘棁娓归悽缁樼節閻㈤潧孝闁挎洏鍊濆畷顖炲箥椤斿彞绗夌紓鍌欑劍閿曗晛鈻撴禒瀣厽闁归偊鍘界紞鎴︽煟韫囨梹缍戦柍瑙勫灴椤㈡瑩鎮锋0浣割棜闂傚倸鍊风欢姘缚瑜旈幃褔宕卞☉妯肩枃闂侀€涘嵆閸嬪﹪寮繝鍌楁斀闁绘ɑ褰冮埀顒傛暬瀵劍绂掔€n亞顔婇梺瑙勫劶濡嫮澹曡ぐ鎺撶厵闁绘鐗婄欢鑼棯閹岀吋闁哄瞼鍠栭獮鍡氼槻妞わ綀娅曟穱濠囶敃椤愩垻浠搁梺鍝勭灱閸犳牠銆佸☉銏犲耿婵°倕鍟版导鍥⒑閸涘﹨澹樻い鎴濐槸椤繐煤椤忓嫪绱堕梺鍛婃处閸橀箖宕濋崷顓犵=闁稿本姘ㄥ皬缂備浇鍩栧畝鎼佸箖娴兼惌鏁嬮柍褜鍓欓悾鐑藉醇閺囥劍鏅㈡繝銏f硾椤戝棗鈻嶉弽顓熲拻濞达絿鎳撻婊呯磼鐠囨彃鈧瓕鐏嬮悗鍏夊亾闁告洦鍋嗛鍥⒑閸涘﹣绶遍柛鐘虫皑瀵囧焵椤掑嫭鈷戞慨鐟版搐閻忓弶绻涙担鍐插椤╅攱绻濇繝鍌氼仹缂佽妫欓妵鍕冀閵娧冩殹闂佽 鍋撻柤濮愬€楃壕濂告煕鐏炵偓鐨戠€涙繂螖濡ゅ﹣绨烽柛妤€鍟块悾鐑芥偂鎼存ɑ鏂€闂佸壊鍋掗崑鍛扳叿闂傚倸鍊搁崐椋庢濮樿泛鐒垫い鎺戝€告禒婊堟煠濞茶鐏¢柡鍛埣椤㈡瑦鎱ㄩ幇顏嗙泿婵$偑鍊曠换鎰偓姘煎墴瀵娊鏁愰崨顏呮杸闂佺偨鍎辩壕顓㈠春閿濆洠鍋撶憴鍕鐎规洦鍓濋悘鍐⒑闁偛鑻晶鏌ユ煏閸℃ḿ澧辩紒杈ㄦ崌瀹曟帒顫濋钘変壕闁归棿绀佺壕褰掓煕濠靛嫬鍔ら柣顓熸崌閺屸剝寰勭€n亝顔曞┑鐐村灦椤倿寮崼婵堝姦濡炪倖甯掔€氼參宕戝┑鍡忔斀闁绘ê鐤囨竟姗€姊虹憗銈呪偓鏍ㄧ┍婵犲洤围闁告洦鍙庡Σ顔界箾鐎涙ḿ鐭嬬紒顔芥尭椤繘鎼归崷顓犵厯闁荤姵浜介崝搴敊閸ヮ剚鈷戞慨鐟版搐婵″潡鏌涜箛鏃撹€块柣娑卞枦缁犳稑鈽夊▎鎰姃闂備線娼荤€靛矂宕㈡ィ鍐╂櫖婵犲﹤鎳愮壕浠嬫煕鐏炲墽鎳囨俊鍓у厴閺屾盯濡搁妷褏楔闂佺粯渚楅崳锝咁嚕娴犲鏁囬柣鏂挎惈楠炲秹姊绘担鍛婂暈闁告梹岣挎禍绋库枎閹寸姳绗夊┑鐐叉▕娴滄繈鎮¤箛娑欑厱闁靛绲芥俊鐓庘攽椤斿吋婀伴柕鍥у閺佸啴鍩€椤掑嫷鏁嬫い鎾跺У椤洟鏌熼悜妯诲鞍缂傚秴娲弻鏇熺箾閸喖濮曢柣鐘叉川閸嬨倕顫忛搹瑙勫珰闁炽儴娅曢悘鈧梻浣告惈閹虫劖鎱ㄩ幘顔藉仼鐎瑰嫰鍋婂ḿ銊╂煃瑜滈崜鐔肩嵁婵犲洦鍋愭繛鑼帛閺呯偤姊洪崷顓€瑙勵殽閸涘﹦顩叉繝闈涚墢绾句粙鏌涚仦鎹愬闁逞屽墯閹倸鐣烽幇顓фЧ閹兼番鍩勯崑銊╂⒑鐠恒劌鏋斿┑顔碱嚟缁絽螖閸涱喚鍘搁悗骞垮劚妤犳悂鐛Δ鍛厱閻庯綆浜堕崕鏃堟煛瀹€鈧崰鏍嵁閸℃凹妲鹃梺鎸庣☉缁夊綊寮婚敓鐘插耿妞ゆ挾濮烽弳銈夋⒑閸濆嫮鐏遍柛鐘崇墵楠炲啫饪伴崘鐐缓闂佺硶鍓濆玻鍧楀汲閿曞倹鈷掑ù锝呮嚈瑜版帗鏅濋柨鏇炲€哥粈鍌涙叏濡炶浜惧Δ鐘靛仜閸燁偉鐏冮梺鍛婁緱閸犳牗绂掑ú顏呪拺閻犲楠稿Λ顓㈠吹濞嗘劗绡€闁逞屽墴閺屽棗顓奸崨顔锯偓顒€顪冮妶鍡樼5闁稿鎸婚〃銉╂倷閸欏妫ュ銈忓瘜閸o綁寮婚敓鐘茬劦妞ゆ帊鑳堕々鐑芥倵閿濆骸浜為柛妯挎閳规垿鍩ラ崱妤冧淮濠电偛鎷戠徊鍓х矉閹烘垟妲堥柕蹇ョ磿閸樻悂姊虹化鏇楀亾瀹曞洨顔夊┑鐐叉噹閹虫﹢寮诲鍥ㄥ枂闁告洦鍋嗘导灞筋渻閵堝啫鐏柣鐔濆洤绐楀┑鐘叉搐绾偓闂佺粯鍔栭幆宀勫疮閳ь剟姊婚崒姘偓鐑芥嚄閸洖绠犻柟鎯у娑撳秶鈧箍鍎遍ˇ顖炲垂閸屾粎妫い鎾跺仦閸h棄霉濠婂棙顥夐柍瑙勫灴閹瑧鈧稒锚闂夊秹姊洪崨濠傜仴缂傚秴锕ら悾鐤亹閹烘垹顔呴梺鑺ッˇ閬嶅礉閿曗偓椤啴濡堕崱妤冪懆闂佸摜鍣ラ崑濠囧箖閿熺姴绠涢柣妤€鐗忛崢顏堟⒑閹肩偛鍔€闁告劕褰炵槐鏃堟煟鎼淬埄鍟忛柛鐘愁殔宀e灝鈻庨幒鏂剧胺闂傚倷绶氶埀顒傚仜閼活垱鏅堕婊呯<闁稿本姘ㄦ牎闂侀潧鐗炵紞浣哥暦濮椻偓閸╃偤鎮欓鈧褰掓⒒閸屾瑧顦﹂柟璇х磿閹广垽宕掑┃鎯т壕婵ḿ鍘у▍宥夋煙椤旀儳浠ч柟鐟板婵℃瓕顦撮柨娑欑矒濮婃椽宕崟顕呮蕉闂佺ǹ瀛╂繛濠囧箖妤e啯鍊绘慨妤€妫欓鏃堟⒑缂佹ê濮囩€殿喖鐖艰棢闁靛繆鎳囬崑鎾斥枔閸喗鐝梺闈╃秶缁蹭粙鎮鹃柨瀣檮闁告挸寮堕弲婵嬫⒑閹稿海绠撴俊顐g懇閹敻顢曢埗鈺傛杸闂佺粯锚閻忔岸寮抽埡鍛厱閻庯綆鍓欐禒杈┾偓瑙勬礀缂嶅﹤鐣锋總绋垮嵆闁绘柨鎲¢悵鏍⒒娴gǹ鏆遍柟纰卞亰瀹曟劙骞栨笟鍥ㄦ櫔闂備緡鍓欑粔鐢告偂閵夆晜鐓熼柡鍥╁仜閳ь剙婀遍埀顒佺啲閹凤拷<<
12@gma联系客服:779662525#qq.com(#替换为@) 苏ICP备20003344号-4