函数导数任意性和存在性问题探究
导学语
函数导数问题是高考试题中占比重最大的题型，前期所学利用导数解决函数图像切线、函数单调性、函数极值最值等问题的方法，仅可称之为解决这类问题的“战术”，若要更有效地彻底解决此类问题还必须研究“战略”，因为此类问题是函数导数结合全称命题和特称命题形成的综合性题目.常用战略思想如下：
题型分类解析
一．单一函数单一“任意”型
战略思想一：“?x?A，a?(?)f(x)恒成立”等价于“当x?A时，a?(?)f(x)max”；
f(x)上限aa?(?)f(x)min”“?x?A，等价于“当x?A时，. a?(?)f(x)恒成立”
2f(x)下限例1 ：已知二次函数f(x)?ax?x，若?x?[0,1]时，恒有|f(x)|?1，求实数a的取值范围. 解：
|f(x)|?1，∴?1?ax2?x?1；即?1?x?ax2?1?x；
当x?0时，不等式显然成立，∴a∈R.
当0?x?1时，由?1?x?ax?1?x得：?而(11?)minx2x1111??a??， 22xxxx11?0，∴a?0. 又∵(?2?)max??2，∴a??2,??2?a?0，
xx2综上得a的范围是a?[?2,0]. 二．单一函数单一“存在”型
战略思想二：“?x?A，使得a?(?)f(x)成立”等价于“当x?A时，a?(?)f(x)min”；
“?x?A，使得a?(?)f(x)成立”等价于“当x?A时，a?(?)f(x)max”.
2f(x)上限f(x)下限a例2. 已知函数f(x)?alnx?x(a?R)，若存在x?[1,e]，使得f(x)?(a?2)x成立，求实数a的取值范围.
解析：f(x)?(a?2)x?a(x?lnx)?x2?2x.
∵x?[1,e]，∴lnx?1?x且等号不能同时取，所以lnx?x，即x?lnx?0，
x2?2xx?[1,e]， 因而a?x?lnx，
(x?1)(x?2?2lnx)x2?2x令g(x)?， x?[1,e]，又g?(x)?2x?lnx(x?lnx)当x?[1,e]时，x?1?0,lnx?1，x?2?2lnx?0，
从而g?(x)?0（仅当x=1时取等号），所以g(x)在[1,e]上为增函数， 故g(x)的最小值为g(1)??1，所以a的取值范围是[?1,??)． 三．单一函数双“任意”型
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战略思想三：?x?R，都有\f(x1)?f(x)?f(x2)\?f(x1),f(x2)分别是 yx1x2xf(x)的最小值和最大值，|x1?x2|min是同时出现最大值和最小值的最短区间. 例3. 已知函数f(x)?2sin(的最小值为____.
解 ∵对任意x∈R，不等式f(x1)?f(x)?f(x2)恒成立， ∴f(x1),f(x2)分别是f(x)的最小值和最大值.
对于函数y?sinx，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是π，即半个周期. 又函数f(x)?2sin(
战略思想四： ?x1,x2?A,\f(?x?若对?x?R，都有\f(x1)?f(x)?f(x2)\成立，则|x1?x2|?)，
25?x?2?)的周期为4，∴|x1?x2|的最小值为2. 5yx1?x2f(x1)?f(x2))?\成立 22f(x2)f(x1)?f(x)在A上是上凸函数?f''(x)?0
Ox1x2x2例4. 在y?2x,y?log22x,y?x,y?cosx这四个函数中，当0?x1?x2?1时，使
\f(x1?x2f(x1)?f(x2))?\恒成立的函数的个数是( ) 22x1?x2f(x1)?f(x2))?\的函数，应是凸函22 A.0 B.1 C.2 D.3 解：本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件\f(数的性质，画草图即知y?log22x符合题意；
战略思想五： ?x1,x2?A,\f(x1)?f(x2)?0\成立?f(x)在A上是增函数
x1?x2 例5 已知函数f(x)定义域为[?1,1]，f(1)?1，若m,n?[?1,1]，m?n?0时，都有
\f(m)?f(n)?0\，若f(x)?t2?2at?1对所有x?[?1,1]，a?[?1,1]恒成立，求实数t取值范围.
m?n解：任取?1?x1?x2?1，则f(x1)?f(x2)?f(x1)?f(x2)(x1?x2)，
x1?x2由已知
f(x1)?f(x2)?0，又x1?x2?0，∴f(x1)?f(x2)?0，
x1?x2即f(x)在[?1,1]上为增函数.
2
∵f(1)?1，∴x?[?1,1]，恒有f(x)?1；
∴要使f(x)?t?2at?1对所有x?[?1,1]，a?[?1,1]恒成立， 即要t?2at?1?1恒成立，故t?2at?0恒成立， 令g(a)??2at?t，只须g(?1)?0且g(1)?0， 解得t??2或t?0或t?2.
战略思想六： ?x1,x2?A,|f(x1)?f(x2)|?t（t为常数）成立?t=f(x)max?f(x)min 例6. 已知函数f(x)??x?2x，则对任意t1,t2?[?成立，当且仅当t1=____，t2=____时取等号.
解：因为|f(x1)?f(x2)|?|[f(x)]max?[f(x)]min|恒成立， 由f(x)??x?2x,x?[?,2]，
易求得[f(x)]max44322221,2]（t1?t2）都有|f(t1)?f(t2)|? 恒21232715，[f(x)]min?f(?)??， ?f()?2162163∴|f(x1)?f(x2)|?2.
战略思想七：?x1,x2?A,|f(x1)?f(x2)|?t|x1?x2|
?|f(x1)?f(x2)|?t?|f'(x)|?t(t?0)
x1?x2例7. 已知函数y?f(x)满足：(1)定义域为[?1,1]；(2)方程f(x)?0至少有两个实根?1和1； (3)过f(x)图像上任意两点的直线的斜率绝对值不大于1.
(1)证明:|f(0)|?1； (2)证明：对任意x1,x2?[?1,1]，都有|f(x1)?f(x2)|?1. 证明 (1)略；
(2)由条件(2)知f(?1)?f(1)?0，
不妨设?1?x1?x2?1，由(3)知|f(x1)?f(x2)|?|x1?x2|?x2?x1，
又∵|f(x1)?f(x2)|?|f(x1)|?|f(x2)|?|f(x1)?f(?1)|?|f(x2)?f(1)|
?x1?1?1?x2?2?(x2?x1)?2?|f(x1)?f(x2)|；∴|f(x1)?f(x2)|?1
例8. 已知函数f(x)?x?ax?b，对于x1,x2?(0,33)(x1?x2)时总有|f(x1)?f(x2)|?|x1?x2|成3 3