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2004年普通高等学校招生江苏卷数学试题
一、选择题(5分×12=60分)
1.设集合P={1，2，3，4}，Q={xx?2,x?R}，则P∩Q等于 ( )
(A){1，2} (B) {3，4} (C) {1} (D) {-2，-1，0，1，2}
2.函数y=2cos2x+1(x∈R)的最小正周期为 ( )
π(A) (B)π (C)2π (D)4π
23.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 ( )
(A)140种 (B)120种 (C)35种 (D)34种
4.一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是 ( )
100π3208π3500π34163π3(A)cm (B) cm (C) cm (D) cm
3333x2y2?2?1的一条准线与抛物线y2?8x的准线重合，则双曲线离心率为 ( ) 5.若双曲线8b(A)2 (B)22 (C) 4 (D)42
6.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，
结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 ( ) 人数(人) (A)0.6小时 (B)0.9小时 (C)1.0小时 (D)1.5小时
20
15 7.(2x?x)4的展开式中x3的系数是 ( )
10 (A)6 (B)12 (C)24 (D)48
8.若函数y?loga(x?b)(a?0,a?1)的图象过两点(-1，0)和(0，1)，则 5 ( ) (A)a=2,b=2 (B)a=2 ,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a=2 ,b=2 0 0.5 1.0 1.5 2.0 时间(小时)
9.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是 ( )
5253191(A) (B) (C) (D) 216216216216
10.函数f(x)?x3?3x?1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( ) (A)1，-1 (B)1，-17 (C)3，-17 (D)9，-19
-11.设k>1，f(x)=k(x-1)(x∈R) . 在平面直角坐标系xOy中，函数y=f(x)的图象与x轴交于A点，它的反函数y=f 1(x)的图象与y轴交于B点，并且这两个函数的图象交于P点. 已知四边形OAPB的面积是3，则k等于 ( )
346
(A)3 (B) (C) (D)
23512.设函数f(x)??x(x?R)，区间M=[a，b](a (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)无数多个 二、填空题(4分×4=16分) x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 2 13.二次函数y=ax+bx+c(x∈R)的部分对应值如右表： y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6 则不等式ax2+bx+c>0的解集是_____________________. 14.以点(1，2)为圆心，与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是________________. a1(3n?1)15.设数列{an}的前n项和为Sn，Sn=(对于所有n≥1)，且a4=54，则a1的数值是_______________________. 216.平面向量a,b中，已知a=(4，-3)，b=1，且a?b=5，则向量b=__________. 三、解答题(12分×5+14分=74分) παα5π17.已知0<α<，tan+cot=，求sin(α?)的值. 22223▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌ 18.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP. D1 (Ⅰ)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； C1 O (Ⅱ)设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1H⊥AP； · A1 (Ⅲ)求点P到平面ABD1的距离. B1 · H P D C 19.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最A B 大亏损分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 20.设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn. 3 (Ⅰ)若首项a1? ，公差d?1，求满足S2?(Sk)2的正整数k； 2k(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有S2?(Sk)2成立. k1 21.已知椭圆的中心在原点，离心率为 ，一个焦点是F（-m,0）(m是大于0的常数). (Ⅰ)求椭圆的方程； 2 (Ⅱ)设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M. 若MQ?2QF，求直线l的斜率. 22.已知函数f(x)(x?R)满足下列条件：对任意的实数x1，x2都有 λ(x1?x2)2?(x1?x2)[f(x1)?f(x2)]和f(x1)?f(x2)?x1?x2，其中λ是大于0的常数.设实数a0，a，b满足 f(a0)?0和b?a?λf(a) (Ⅰ)证明λ?1，并且不存在b0?a0，使得f(b0)?0； (Ⅱ)证明(b?a0)2?(1?λ2)(a?a0)2； (Ⅲ)证明[f(b)]2?(1?λ2)[f(a)]2. ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌ 2004年普通高等学校招生江苏卷数学试题参考答案 一、选择题： ABDCA BCADC BA 二、填空题； 13、{xx??2或x?3}； 14、(x?1)2?(y?1)2?25； 15、2； 16、b?(,?)。 三、解答题 45354?4?33， ?sin(??)? 5310417 18、解（1）?APB?arctan1717、解：由题意可知sin??（2）略 32 2?x?y?1019、解：?，设z?x?0.5y 3x?y?18?（3） 当??x?4时，z取最大值7万元 ?y?620、解：（1）k?4 ?a1?0?a1?1?a1?1（2）?或?或? d?0d?2d?0???x2y2?2?1 21、解：（1）24m3m（2）k??26或0 222、解：（1）不妨设x1?x2，由?(x1?x2)?(x1?x2)??f(x1)?f(x2)? 可知f(x1)?f(x2)?0，?f(x)是R上的增函数 ?不存在b0?a0，使得f(b0)?0 又 ?(x1?x2)2?(x1?x2)??f(x1)?f(x2)??(x1?x2)2 ???1 22(a?a)?f(a)?（2）要证：(b0?a0)2?(1??2)(a?a0)2即证：??0???2f(a)(a?a0) (*) 不妨设a?a0， 由?(x1?x2)?(x1?x2)??f(x1)?f(x2)?得f(a)?f(a0)??(a?a0)，即f(a)??(a?a0)， 2则2f(a)(a?a0)?2?(a?a0)2 （1） 由f(x1)?f(x2)?x1?x2得f(a)?f(a0)?a?a0即f(a)?a?a0， 222?(a?a)?f(a)?2?(a?a)则?? （2） 00??22222由（1）（2）可得???(a?a0)?f(a)???2f(a)(a?a0)?(b0?a0)?(1??)(a?a0) （3）[f(a)]2?(a?a0)2, ?(1??2)[f(a)]2?(1??2)(a?a0)2 [f(b)]2?(b?a0)2 又由（2）中结论(b0?a0)?(1??)(a?a0) ?[f(b)]?(1?? 222222)f[a( )]▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓