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圆的培优专题1——与圆有关的角度计算
一 运用辅助圆求角度
1、如图，△ABC内有一点D，DA＝DB＝DC，若?DAB＝20?，?DAC＝30?， 1
则?BDC＝ . （?BDC＝ 2 ?BAC＝100?）
2、如图，AE＝BE＝DE＝BC＝DC，若?C＝100?，则?BAD＝ . （50?） 3、如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，?CBD＝20?，?BDC＝30?，则
?BAD＝ . （?BAD＝?BAC＋?CAD＝40?＋60?＝100?） 第1题 第2题 第3题 解题策略：通过添加辅助圆，把问题转化成同弧所对的圆周角与圆心角问题，思维更明朗！ 4、如图，□ABCD中，点E为AB、BC的垂直平分线的交点，若?D＝60?， 则?AEC＝ . （?AEC＝2?B＝2?D＝120?） 5、如图，O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，?ABC＝?ADC＝70?， 则?DAO＋?DCO＝ . （所求＝360?－?ADC－?AOC＝150?） 6、如图，四边形ABCD中，?ACB＝?ADB＝90?，?ADC＝25?，则?ABC＝ . （?ABC＝?ADC＝25?） 第4题 第5题 第6题 解题策略：第6题有两个直角三角形共斜边，由直角所对的弦为直径，易得到ACBD共圆. 二 运用圆周角和圆心角相互转化求角度 7、如图，AB为⊙O的直径，C为AB的中点，D为半圆AB上一点，则?ADC＝ . 8、如图，AB为⊙O的直径，CD过OA的中点E并垂直于OA，则?ABC＝ . 9、如图，AB为⊙O的直径，BC?3AC，则?ABC＝ . 第7题 第8题 第9题 答案：7、45?； 8、30?； 9、22.5?； 10、40?； 11、150?； 12、110? 解题策略：以弧去寻找同弧所对的圆周角与圆心角是解决这类问题的捷径！
10、如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，?BAC＝50?，则?ADC＝ . 11、如图，⊙O的半径为1，弦AB＝2，弦AC＝3，则?BOC＝ . 12、如图，PAB、PCD是⊙O的两条割线，PAB过圆心O，若AC?CD，?P＝30?， 则?BDC＝ . （设?ADC＝x，即可展开解决问题） 第10题 第11题 第12题
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解题策略：在连接半径时，时常会伴随出现特殊三角形——等腰三角形或直角三角形或等腰 直角三角形或等边三角形，是解题的另一个关键点！
圆的四接四边形的外角等于内对角，是一个非常好用的一个重要性质！
圆的培优专题2——与垂径定理有关的计算
1、如图，AB是⊙O的弦，OD?AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，若?BED ＝30?，⊙O的半径为4，则弦AB的长是 . 略解：∵OD?AB，∴AB＝2AC，且?ACO＝90?， ∵?BED＝30?，∴?AOC＝2?BED＝60? 1 ∴?OAC＝30?，OC＝ 2 OA＝2，则AC＝23，因此AB＝43. 2、如图，弦AB垂直于⊙O的直径CD，OA＝5，AB＝6，则BC＝ . 1略解：∵直径CD?弦AB，∴AE＝BE＝ AB=3 2 ∴OE＝52?32?4，则CE＝5＋4＝9 ∴BC＝92?32?310 第1题 第2题 第3题 3、如图，⊙O的半径为25，弦AB?CD，垂足为P，AB＝8，CD＝6，则OP＝ . 略解：如图，过点O作OE?AB，OF?CD，连接OB，OD. 11 则BE＝2 AB＝4，DF＝2 CD＝3，且OB＝OD＝25 OE＝(25)2?42?2，OF＝(25)2?32?11 又AB?CD，则四边形OEPF是矩形，则OP＝22?(11)2?15 4、如图，在⊙O内，如果OA＝8，AB＝12，?A＝?B＝60?，则⊙O的半径为 . 1略解：如图，过点O作OD?AB，连接OB，则AD＝2 AB＝4，因此，BD＝8，OD＝43 ∴OB＝(43)2?82?47.
5、如图，正△ABC内接于⊙O，D是⊙O上一点，?DCA＝15?，CD＝10，则BC＝ 略解：如图，连接OC，OD，则?ODC＝?OCD
∵△ABC为等边三角形，则?OCA＝?OCE＝30?，∴?ODC＝?OCD＝45? ∴△OCD是等腰三角形，则OC＝52 过点O作OE?BC，则BC＝2CE＝56 第4题 第5题 第6题 6、如图，⊙O的直径AB＝4，C为AB的中点，E为OB上一点，?AEC＝60?，CE的延 页脚内容
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长线交⊙O于点D，则CD＝ 略解：如图，连接OC，则OC＝2
∵C为AB的中点，则OC?AB，又?AEC＝60?，∴?OCE＝30?
1 如图，过点O作OF?CD，则OF＝2 OC＝1，CF＝3，∴CD＝2CF＝23 7、如图，A地测得台风中心在城正西方向300千米的B处， 并以每小时107千米的速度沿北偏东60?的BF方向移 动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域. 问：A地是否受到这次台风的影响？若受到影响，请求 出受影响的时间？ 解：如图，过点A作AC?BF交于点C， 1 ∵?ABF＝30?，则AC＝2 AB＝150?200，因此A地会受到这次台风影响； 如图，以A为圆心200千米为半径作⊙A交BF于D、E两点，连接AD， 则DE＝2CD＝22002?1502?1007， 所以受影响的时间为1007?107?10（时） 圆的培优专题3——圆与全等三角形 1、如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，?ACB的平分线交⊙O于D，求CD的长. 解：如图，连接AB，BD，在CB的延长线上截取BE＝AC，连接DE ∵?ACD＝?BCD，∴AD＝BD 又?CAD＝?EBD，AC＝BE ∴△CAD≌△EBD（SAS） ∴CD＝DE，?ADC＝?BDE ∵AB为⊙O的直径，则?ACB＝?ADB＝90? ∴BC＝102?62?8；?ADC＋?CDB＝?CDB＋?BDE＝90?，即?CDE＝90? ∴△CDE是等腰直角三角形且CE＝14，∴CD＝72
2、如图，AB是⊙O的直径，C是半圆的中点，M、D分别是CB及AB延长线上一点，且 MA＝MD，若CM＝2，求BD的长.
解：如图，连接AC，则AC＝BC，?C＝90?，即△ABC是等腰直角三角形 过点M作MN∥AD，则?NMA＝?MAD
则△CMN也是等腰直角三角形，则MN＝2CM＝2 ∴?ANC＝?MBD＝135?， 页脚内容