竖直平面内的圆周运动释疑
一、竖直平面内的圆周运动的特点
竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动，其合外力一般不指向圆心， 它产生两个方向的效果：
因此变速圆周运动的合外力不等于向心力，只是在半径方向的分力F1提供向心力．但在最高点和最低点时合外力沿半径指向圆心，全部提供向力，这类问题经常出现临界状态． 二、圆周运动的临界问题
竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周动物，其合外力一般不指向圆心，但在最高点和最低点时合外力沿半径指向圆心，全部提供向力，这类问题经常出现临界状态，下面对临界状态进行分析：
1．没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点，如图所示：
①临界速度v0：小球运动在最高点时，受的重力和弹力方向都向下，C 当弹力等于零时，向心力最小，仅由重力提供．由牛顿运动定律知
R A v v2mg=m，得小球过圆周轨道最高点的临界速度为v0=gR，它是小球
R能过圆周最高点的最小速度．
【疑问】：为什么在最高点的速度为v0=gR就刚好做完整的圆周运动？
O v2 ②当mg
R拉力和压力．
v2③当mg>m，即v R经脱离了圆轨道．设小球在C点脱离圆周，球将沿圆周的内侧向上做斜上抛运动．小球脱离圆周的临界条件是弹力为零． 【疑问】：为什么会在C点脱离轨道呢？做斜上抛运动的轨迹一定在圆的内部吗？ 【释疑】：两个疑问一个例题解答 【例题】如图所示，一光滑的半径为R的半圆形轨道固定在水平面上，一个质量为m的小球以某一速度冲上轨道，最终小球将要从轨道口飞出． （1）如小球刚好能从D点飞出，则小球在经过B点时的速度大小至少为多少？ （2）如小球刚好从C点飞出（脱离轨道），则小球在C点的速度大小为多少？ 【分析】：（1）在最高点仅由重力提供向心力可求得 ?B?gR，即为所求。因为 ①从B到D，速度越来越大，而重力沿半径方向的分力却越来越小，重力沿半径方向的分力不足以提供向心力，必定受轨道的弹力作用。 ②假设没有BD轨道，我们求一下做平抛运动的轨迹，以O为坐标原点，设经历时间t，做平抛运动的水平位移为x??Bt?的距离为L?O A gR?t；竖直位移为y?12gt，此时小球离O点2x2?(R?y)2?R，说明平抛运动的轨迹在BD外侧。但由于存在BD 轨道，故能够到达B点就可以到达D点。 （2）从A到C速度越来越小，在C点速度小到刚好仅由重力沿半径方向的分力提供向心 力，此时弹力为0，就会在C点脱离轨道而做斜上抛。 mgcos30?m0?C2R 解得，?C?3gR 2 从C到B速度越来越小，而重力沿半径方向的分力却越来越大，重力沿半径方向的分 力大于所需要向心力，小球脱离轨道必做近心运动，当然做斜抛运动的轨迹必在CB弧的内侧。 2．有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动的情况，如图所示． ①临界速度v0：由于轻杆或管状轨道对小球有支撑作用，因此小球在最高点的速度可以为零，不存在“掉下来”的情况．小球恰能达到最高点的临界速度v0=0． ②小球过最高点时，所受弹力情况： A．小球到达最高点的速度v=0，此时轻杆或管状轨道对小球的弹力N=mg． B．当小球的实际速度v>gR时，产生离心趋势，要维持小球的圆周运动，弹力方向应向下指向圆心，即轻杆对小球产生竖直向下的拉力，管状轨道对小球产生竖直向下的压力， 杆 O v v2v2因此FN=m-mg，所以弹力的大小随v的增大而增大，且m>FN>0． RR C．当0 v2状轨道对小球的作用力为竖直向上的支持力，因为FN=mg-m，所以FN的数值随v的增 R大而减小，且mg>FN>0.可以看出v=gR是轻杆（或管状轨道）对小球有无弹力和弹力方向向上还是向下的临界速度． 3．物体在竖直圆周外壁最高点的运动情况，如图所示： ①临界速度v0：物体在最高点受到竖直向下的重力和竖直 FN ? v v2向上的支持力FN，根据牛顿第二定律有mg-FN=m R2v0 当FN=0时，即重力提供向心力，则有mg=m，解得临界 Rmg 速度v0=gR，这是物体在最高点不脱离圆周轨道的最大速度． ②当v≥ gR，物体在最高点将做平抛运动，脱离轨道． 【疑问】：先做平抛运动会不会后来落在球面上？（不会，参见例题的分析（1）） ③当v＜gR，物体将沿圆轨道下滑（下落到一定位置还是要脱离轨道）． 【疑问】：在哪个地方脱离轨道？脱离轨道后做什么运动？ 【释疑】：沿圆轨道下滑过程，速度越来越大，轨道对物体的弹力越来越小，当仅由重力沿半径方向的分力提供向心力，即轨道对物体的弹力为0时，物体脱离轨道，脱离轨道后做斜下抛运动。 比较上述几种临界速度可以看出： 第1种临界速度的意义是决定物体在竖直面内做圆周运动时能否到达圆周的最高点． 第2种临界速度的意义是揭示了物体所受弹力的方向． 第3种临界速度是区别物体做圆周运动还是平抛运动的条件． 劲草于2010-4-8