2．4.1 抛物线的标准方程
学 习 目 标 1.理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程．(重点) 2.掌握抛物线的定义及其标准方程的应用．(难点) 核 心 素 养 1.通过抛物线的定义，标准方程的学习，培养学生的数学抽象，直观想象素养. 2.借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推理，数学运算素养.
1．抛物线的定义
思考1：平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？
[提示] 不一定．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．
2．抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) ?p，0? ?2???px＝－ 2?－p，0? ?2???px＝ 2?0，p? ?2???py＝－ 2 - 1 -
x2＝－2py(p＞0) ?0，－p? ?2???py＝ 2思考2：抛物线的标准方程y＝2px(p>0)中p的几何意义是什么？ [提示] 焦点到准线的距离．
思考3：已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？ [提示] 一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也随之确定．
1．抛物线y＝ax的准线方程是y＝2，则实数a的值为( ) 11
A. B．－ C．8 D．－8 8811122
B [由y＝ax，得x＝y，＝－2，a＝－.]
a4a82．抛物线y＝4x的焦点坐标是( ) A．(0,2) B．(0,1) C．(2,0) D．(1,0) D [∵y＝4x，∴焦点F(1,0)．]
3．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________．
2
2
2
2
y2＝－8x或x2＝－y [设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，或x2＝2py(p≠0)．将P(－2，－
4)代入，分别得方程为y＝－8x或x＝－y.]
2
2
(1)准线方程为2y＋4＝0； (2)过点(3，－4)；
(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．
求抛物线的标准方程 【例1】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．
[解] (1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方
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程为x＝2py(p>0)，又＝2，所以2p＝8，故抛物线方程为x＝8y.
2
(2)∵点(3，－4)在第四象限， ∴设抛物线的标准方程为
2
p2
y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．
把点(3，－4)的坐标分别代入y＝2px和x＝－2p1y，得(－4)＝2p·3,3＝－2p1·(－4)， 169即2p＝，2p1＝.
34
16922
∴所求抛物线的标准方程为y＝x或x＝－y.
34(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)． ∴所求抛物线的标准方程为
2
2
2
2
x2＝－20y或y2＝－60x.
求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y＝ax(a≠0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x＝
2
2
ay(a≠0)．
1．根据下列条件分别求抛物线的标准方程．
(1)抛物线的焦点是双曲线16x－9y＝144的左顶点；
(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5. [解] (1)双曲线方程可化为－＝1，左顶点为(－3,0)， 916－p2
由题意设抛物线方程为y＝－2px(p>0)且＝－3，
2∴p＝6，∴抛物线的方程为y＝－12x.
(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y＝2px(p≠0)，A(m，－3)， 由抛物线定义得5＝|AF|＝?m＋?.
?2?又(－3)＝2pm，∴p＝±1或p＝±9， 故所求抛物线方程为y＝±2x或y＝±18x.
2
2
2
2
22
2
x2y2
?
p?
[探究问题]
抛物线定义的应用 - 3 -
1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，这句话的含义是什么？
[提示] 抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F，即抛物线的焦点；一条定直线l，即为抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和M到l的距离之比等于1.定点F不能在直线上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线.
2．如何通过抛物线定义实现距离转化？
[提示] 根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．
3．如何利用抛物线定义解决与抛物线有关的最值问题？
[提示] 在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．
1?1?【例2】 若位于y轴右侧的动点M到F?，0?的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨2?2?迹方程．
11
[思路探究] 把|MF|比M到y轴的距离大，转化为|MF|与点M到x＝－的距离相等，从
22而利用抛物线定义求解．
1?1?[解] 由于位于y轴右侧的动点M到F?，0?的距离比它到y轴的距离大，所以动点M2?2?1?1?到F?，0?的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．
2?2?
由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程应为y＝
2
p1
2px(p>0)的形式，而＝，
22
所以p＝1,2p＝2，故点M的轨迹方程为y＝2x(x≠0)．
1．(变换条件、改变问法)若本例中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标．
2
2
1??2
[解] 设点N的坐标为(x0，y0)，则|NF|＝2，即?x0－?＋y0＝4 ①，又由典例的解析知
2??点M的轨迹方程为y＝2x(x≠0)，故y0＝2x0 ②，
3??x0＝2，由①②可得?
??y0＝3，
2
2
3??x0＝2，或???y0＝－3，
?3??3?故点N的坐标为?，3?或?，－3?.
?2??2?
2．(变换条件、改变问法)若本例中增加一点A(3,2)，其他条件不变，求|MA|＋|MF|的最
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