题组层级快练(八十三)
1．下列函数是正态密度函数的是( ) A．f(x)＝
12πσ
e
2
x－μ
2σ
2
2
，μ、σ(σ＞0)都是实数
2πxB．f(x)＝e－
2π21x－σ
C．f(x)＝e－
42 2πD．f(x)＝－答案 B
解析 A中的函数值不是随着|x|的增大而无限接近于零．而C中的函数无对称轴，D中的函数图像在
e
2π21
x2
x轴下方，所以选B.
2．关于正态曲线性质的叙述：
①曲线关于直线x＝μ对称，这个曲线在x轴上方；
②曲线关于直线x＝σ对称，这个曲线只有当x∈(－3σ，3σ)时才在x轴上方； ③曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数； ④曲线在x＝μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低； ⑤曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定； ⑥σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”． 上述说法正确的是( ) A．只有①④⑤⑥ C．只有③④⑤⑥ 答案 A
3．设随机变量X～N(μ，σ)，则随着σ的增大，概率P(|x－μ|<3σ)将会( ) A．单调增加 C．保持不变 答案 C
解析 P(|x－μ|<3σ)＝P(μ－3σ 4．(2015·广东惠州一模)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则a＝( ) A．3 C．5 答案 D 5B. 37D. 3B．单调减少 D．增减不定 2 B．只有②④⑤ D．只有①⑤⑥ 7 解析 因为ξ服从正态分布N(3,4)，P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，所以2a－3＋a＋2＝6，a＝，故3选D. 5．(2015·湖北荆州中学第一次质检)若随机变量X～N(1,4)，P(X≤0)＝m，则P(0 B.1－m 2 D．1－m 答案 A 解析 因为随机变量X～N(1,4)，所以正态曲线的对称轴为x＝1，因此P(0 6．(2015·山东聊城重点高中联考)已知服从正态分布N(μ，σ)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1 000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm)服从正态分布(165,5)，则适合身高在155～175 cm范围内的校服大约要定制( ) A．683套 C．972套 答案 B 解析 P(155<ξ<175)＝P(165－5×2<ξ<165＋5×2)＝P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.4%. 因此服装大约定制1 000×95.4%＝954套．故选B. 7．已知变量x服从正态分布N(4，σ)，且P(x>2)＝0.6，则P(x>6)＝( ) A．0.4 C．0.2 答案 A 解析 因为P(x>2)＝0.6，所以P(x<2)＝1－0.6＝0.4.因为N(4，σ)，所以此正态分布的图像关于x＝4对称，所以P(x>6)＝P(x<2)＝0.4.故选A. 8．(2015·皖南十校联考)在某市2015年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)．已知参加本次考试的全市理科学生约9 450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第多少名？( ) A．1 500 C．4 500 答案 A 11 解析 因为学生的数学成绩X～N(98,100)，所以P(X≥108)＝[1－P(88 221 σ 2名，故选A. B．1 700 D．8 000 2 2 2 2 B．954套 D．997套 B．0.3 D．0.1 9．(2015·南昌调研)某单位1 000名青年职员的体重x(单位：kg)服从正态分布N(μ，2)，且正态分布的密度曲线如图所示，若体重在58.5～62.5 kg属于正常，则这1 000名青年职员中体重属于正常的人数约是( ) 2 A．683 C．341 答案 A 解析 ∵P(58.5 10．(2015·河南安阳专项训练)已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116,64)，则成绩在140分以上的考生所占的百分比为( ) A．0.3% C．1.5% 答案 D 解析 依题意，得μ＝116，σ＝8，所以μ－3σ＝92，μ＋3σ＝140.而服从正态分布的随机变量在(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率约为0.997，所以成绩在区间(92,140)内的考生所占的百分比约为99.7%.从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为 11．如果随机变量X的概率分布密度函数是φ________. 答案 －5 解析 σ＝2，μ＝－2，E(2X－1)＝2E(X)－1＝2×(－2)－1＝－5. 12．(2015·山东青岛一模)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，若P(ξ>1)＝a，a为常数，则 1－99.7% ＝0.15%.故选D. 2(x)＝e－22π 1 B．0.23% D．0.15% B．841 D．667 x＋ 8 2 μ，σ (x∈R)，那么E(2X－1)＝ P(－1≤ξ≤0)＝________. 1答案 －a 2 1－2a解析 由正态曲线的对称轴为ξ＝0，又P(ξ>1)＝a，故P(ξ<－1)＝a.所以P(－1≤ξ≤0)＝ 211 ＝－a，即答案为－a. 22 13．(2015·河北唐山二模)商场经营的某种袋装大米质量(单位：kg)服从正态分布N(10,0.1)，任取一袋大米，质量不足9.8 kg的概率为________．(精确到0.000 1) 注：P(μ－σ 2 P(μ－2σ