规律性问题—数列
按照一定次序排列的一列数叫数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)、第2项、第3项、……、第n项、……
项数有限的数列叫做有穷数列，有穷数列的最后一项叫做这个数列的末项。 项数无穷的数列叫做无穷数列。
等差数列：如果一个数列{an}，从第2项起的每一项an与它的前一项an－1的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示。
通项公式：等差数列{an}中，第n项＝首项＋(项数－1)×公差，即an＝a1＋(n－1)×d(n为正整数) 项数公式：项数＝(末项－首项)÷公差＋1，即n＝(an－a1)÷d＋1(n为正整数)
(a1?an)?n (n为正整数) 2中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列{an}，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数，即当n为正奇数时求和公式：等差数列{an}中，和＝(首项＋末项)×项数÷2，即Sn?an?1?2a1?a2?…?anSna1?an Sn?an?1?n ??nn22n?(n?1) (n为正整数) 21＋3＋5＋…＋(2×n－3)＋(2×n－1)＝n2(n为正整数)
1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝n2(n为正整数) 常见算式公式求法：1?2?3??(n?1)?n? 一串数按下面规律排列：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6…问从左面第一个数起，数100个数，这100个数的和是多少？ 例2 例1 1121123211234321在一串分数：，，，，，，，，，，，，，，，，…
1222333334444444⑴
7是第几个分数？⑵第400个分数是几分之几？ 10
1
观察下面的序号和等式，填括号。 序号 等式 1 1＋2＋3＝6 3 3＋5＋7＝15 5 5＋8＋11＝24 7 7＋11＋15＝33 … …… ( ) ( )＋( )＋7983＝( )
将自然数按如下顺次排列： 1 2 6 7 15 16… 3 5 8 14 17… 4 9 13 … 10 12 … 11 …
在这样的排列下，3排在第二行第一列，13排在第三行第三列，问：1993排在第几行第几列？
自然数按从小到大的顺序排成螺旋形。在2处拐第一个弯，在3处拐第二个弯，在5处拐第三个弯…问拐第二十个弯的地方是哪一个数？ 例5 例4 例3
2
测试题
1．有一列数：1，1989，1988，1，1987，…，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差。那么第1989个数是 。
2．已知一串有规律的数：1，是 。 （A）
251334，，，，……，那么，在这串数中，从左往右数，第10个数38215523361041811597 （B） （C） （D）
67652584377987
3．有许多等式:
2?4?6?1?3?5?3；
8?10?12?14?7?9?11?13?4；
16?18?20?22?24?15?17?19?21?23?5；
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那么第10个等式的和是_______
（A）1668 （B）1670 （C）1882 （D）1536
4．把自然数从1开始，排列成如下的三角阵：第1列为1；第2列为2，3，4；第3列为5，6，7，8，9，…，每一列比前一列多排两个数，依次排下去，“以1开头的行”是这个三角阵的对称轴，如图．则在以1开头的行中，第2008个数是多少．
526137489
（A）4028051 （B）4030057 （C）4032065 （D）4032083
3
5．观察下面的数表：
1； 121,； 12321,,； 1234321,,,； 123454221,,,,； 12345
根据前五行数所表达的规律，说明的第几个?
6．(猫吃老鼠的变形)
一只猫抓了32只老鼠，让它们站成一个圆圈，编号从1~32，从1号开始，吃掉1，跳过2，吃掉3，跳过4，一直下去，吃一个，跳过一个，直到只剩下一只老鼠，求这个老鼠的编号是？
1991这个数位于由上而下的第几行?在这一行中，它位于由左向右1949
4
答案
1．D；数列1，1989，1988，1，1987，1986，1，1985，1984，…，中每3个数有一个1，去掉1以后，每个数比前一个少1。 1989?3?663，所以第1989个数是1989?663?2?1?664。
2．C；每个分数的分子等于前一个分数的分母加分子；每个分数的分母等于分子加前一个分数的分母，
8923361015974181，，，，。 144377987258467653．A；前九个等式左边的数共有3?4??11?（3?11）?9?2?63（个）数，那么第十个等式左边第一个数是（63?1）?2?128，所以第十个等式的和是128?130??150?（128?150）?12?2?1668． 4．甲必胜
因为拿最后一根是输，那么谁拿到倒数第二根，给对方剩下一根，就赢了，所以把最后一根排除在外，69根，拿到最后一根算赢，甲先乙后，则甲构造和6，先拿掉3根，给对方留下6的倍数，不管乙取几根，甲都取和为6。
5．B；方法一：2008行第一个数字为2007??1?（1?2006?2）??2?1?4028050
所以第6、7、8、9、10个分数依次为：
2008行最后一个数字为2008??1?（1?2007?2）??2?4032064
所以，2008行中间的数字为（4028050?4032064）?2?4030057。
方法二：观察以1开头的行的数列：1，3，7，13得出规律，后一个数比前一个数多2，4，6所以，第2008个数为1?2?4?6??2007?2?1?（2?2007?2）?2007?2?4030057。
6．注意到，第一行的每个数的分子、分母之和等于2，第二行的每个数的分子、分母之和等于3，…，第五行的每个数的分子、分母之和等于6。
由此可看到一个规律，就是每行各数的分子、分母之和等于行数加1． 其次，很明显可以看出，每行第一个数的分母是1，第二个数的分母是2，……，即自左起第几个数，其分母就是几。 因此，
19911991所在的行数等于199l+1949-1=3939．而在第3939行中，位于从左至右 19491949第1949个数。
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