2014年第十二届小学“希望杯”全国数学邀请赛
五年级第2 试 详细解答
一、填空题（每题5 分，共60 分。）
1. 能被2，3，7整除的最小的三位数是_________。 【答案】126
【考点】因数与倍数
【解析】找2,3,7 的最小公倍数是2×3×7=42，最小的三位数42 的3倍是126。 2. 在1-100 的自然数中，数字和是5 的倍数的数有__________个。 【答案】19
【考点】计数之枚举法
【解析】数字之和是5 的有：5,50,14,41,23,32
数字之和是10的有：19,91,28,82,37,73,46,64,55 数字之和是15的有：69,96,78,87 共有19个。
3. 如图1，有10克、25 克、50 克的砝码各一个，若在天平上只称量一次，则可以称出的重量有___________种。
【答案】10
【考点】计数之枚举法 【解析】单独放的：10,25,50 和的有：35,60,75,85 差的有：15, 40，65 共有10种。
4. 如图2，将黑、白两种小球从上到下逐层排列，每层都是从左到右逐个地排。当白球第
一次比黑球多2013个时，恰好排完第_________层的第_________个。
【答案】2014 层的4026 个 【考点】计算之等差数列找规律
【解析】观察规律是每两层，白球比黑球多2个 2013÷2=1006 ······1
1
1006×2=2012，则前2012 层，白球比黑球多2012 个 下一层2013 层为全黑，共有2013×2-1=4025个小球
2014 层为白，要想比2013 层多1个球，则为第4026 个小球。 因此是2014 层的第2046 个。
5. 有10个连续的偶数，其中最大的偶数是最小的偶数的4 倍。在这10个偶数中，最小 的是________。 【答案】6
【考点】数论之奇数与偶数
【解析】最大偶数是最小偶数的4 倍，则把最小偶数看成2,4,6，······来试数，当最小偶数是6 时，最大偶数24，这时刚好有10个连续的偶数。所以答案是6。
6. 小明的故事书的本数是小红的7倍，寒暇中，他们买了同样多的故事书。这时，小明的 故事书的本数是小红的6倍；暑假中，他们又买了同样多的故事书，这时，小明的故事 书的本数是小红的5 倍。那么，最初小明和小红的故事书至少共有______本。 【答案】80 本 【考点】不变量
【解析】差不变列表得：
小明 小红 差（不变，统一份数） 7 （70） 1 （10） 6 （60） 6 （72） 1 （12） 5 （60） 5 （75） 1 （15） 4 （60） 从表格中能够看出，小明最初至少有70本书，小红至少有10本数，他们至少共有80 本书。 7. 如图3.长方形ABCD 由3×5 个边长为1 的小正方形拼成，线段MN过点P(P是其中一个小正方形的顶点)，两端分别在AB、DC 上，它将长方形ABCD 分为左、右两部分，则右边部分的面积最大是_____。
【答案】8.25 【考点】比与几何 【解析】让线段MN 绕P 点旋转，并将P 点最上方和最下方的点分别标记为E、F，当MN 和 EF 重合时右边面积为6；显然当线段顺时钟旋转时右面部分的面积会增大，在上面形成△EMP，在下面形成△NFP，显然△EMP 和△NFP 相似，高的比为1：2，底边的比也是1：2，所以面积比为1：4，当它们面积增大时，差也随着增大，则右半部分也增大；△EMP 最大时M 点和B 点重合，此时EB长度为2，则对应的FN 长度为4，会超出长方形DC边，不符题意；△NFP 最大时N 与D 重合，此时对应的EM长度为1.5，没有超出AB，则△EMP面积为1.5×1÷2=0.75，△NFP 的面积为3×2÷2=3, 3-0.75=2.25。则右部分增加了2.25，所以右部分 最大为6+2.25=8.25。
8. 小马在计算18个数的平均数时，误认为其中一个整数的个位和十位之间有小数点，得 到的平均数比正确结果小7.8，那么，这个被看错的数原来是_______。 【答案】156
【考点】应用题之平均数
2
【解析】其他数字均无误，被误看的数字在计算中缩小了10倍，在平均数中应当计算该数 字的十八分之一，错误计算中取了它的一百八十分之一，所以结果小了7.8，所以原数为 7.8 ÷（）=156。
9. 如图4，有边长都是2 的红、黄、蓝三张透明的正方形塑料片。先将红色塑料片平放于 桌面，再放上黄色嫩料片，重叠部分是一个边长是1的橙色正方形；然后又放上蓝色塑 料片，它和橙色正方形的重叠部分是一个边长是0.5 的黑色正方形。此时，三张塑料片
在桌面上覆盖的面积是_________。
【答案】9.75 【考点】容斥原理
【解析】三张塑料片的面积和是：2×2×3=12，重叠一次部分面积为：1×0.5×3+0.5×0.5=1.75，重叠两次部分（即黑色区域）面积为0.5×0.5=0.25，整个覆盖区域为： 12－1.75－0.25×2=9.75。
10. 有9 个表面涂有红漆的正方体，它们的棱长分别是2,3,4，···，9,10。将这些正方体都 锯成棱长是1 的小正方体，在得到的小正方体中，至少有一个面是红色的有______个。 【答案】1728
【考点】立体图形染色
【解析】至少有一个面染色的包括一个面的染色的、两个面染色的、三个面染色的三种情 况，分类求相对麻烦，本题求其对立面，即无色的正方体个数，再用总数去减。
11. 有20 枚2 分硬币，15枚5 分硬币，用这些硬币组成多于0 元，不超过0.5 元的币值， 不同的币值有________种。 【答案】48
【考点】计数排除法
【解析】此题用排除法，可以这样来想，如果用2 和5 来组合出1-50 这50 个自然数，只有1和3 取不到，所以，其余48 种情况都是符合题意的。（下面说明除了1和3外，其他情况都能取到。首先偶数和个位为5 的都能取到，个位为1的可以通过取3个2 和1个5 得到，个位为3 的可以通过取4 个2 和1个5 得到，同理，个位和7和9 的也都能取到。）
12. 图5 中有6个圆圈，每个圆圈内各有一个数。若在同一条直线上的三个圆圈，中间圆圈内的数是它两侧圆圈内的数的平均数，则x=_______。
【答案】13
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