静电场习题课
1．如图示真空中有两个半径分别为R1和R2的同心导体球壳，设内、外导体球壳上分别带有
净电荷Q1和Q2，外球壳的厚度忽略不计，并以无穷远处为电位参考点，试求： (1）导体球壳内、外电场强度E的表达式； (2）内导体球壳(r?R1)的电位?。
解：（1）外导体球壳的外表面所带电荷Q外?Q2?Q1，则
R2R1?0OQ1?0r Q2R1?r?R2时，E2?Q14??0r2er； E3?r>R2时， R2Q2?Q1er24??0r； ?(2) ?R??E2dr??E3dr?1Q1R1R24??0R1(1?1R2)?Q1?Q211Q1Q2(?)??4??0R2?4??0R14??0R2 32.真空中有一个半径为3cm的无限长圆柱形区域内，有体密度??10 mCm均匀分布的电 荷。求：r?2cm, r?3cm, r?4cm处的电场强度E。 解：利用高斯定理，设R为圆柱形区域的半径， Q.?sEdS??0 ?r2?0当rE??3cm时，方向沿e?方向； E?当r>3cm时，所以 R2?2?0r方向沿e?方向。 r=2cm，E1=1.13?107v/mr=3cm，E2=1.69?107v/mr=4cm，E3=1.27?107v/m 3.内导体半径为2cm和外导体的内半径为4cm的球形电容器，其间充满介电常数??2rFm的电介质。设外导体接地，而内导体带电，试求电容器介质内某点电位为内导体电位的一半时，该处的?值。 解： ?sD.dS?QQ 24?rQQE?,沿径向E?4??r28?rD?内导体的电位：?=?0.040.02QQdr?ln28?r8? 0.04r0设r0处电位?1=??ln2=2= r0?0.022m 0.04?1lnr02?==502F/m 0.022QQ0.04dr?8?r8?r0 4.一同轴线内圆柱导体半径为a，外圆柱导体半径为b，其间填充相对介电常数?r?质，当外加电压为U(外导体接地）时，试求： (1)介质中的电通密度（电位移）D和电场强度E的分布； (2)介质中电位?的分布； 解:(1)由高斯通向定理 ?的介aa???b时，D?D?0bU(b?a)?e?, abUE??e?.2?r?0(b?a)? (2) ?=?Ed???babU11(?)(以外导体为电位参考点） (b?a)?b5. 图示空气中一输电线距地面的高度h?3m，输电线的半径为a?5mm，输电线 的轴线与地面平行，旦对地的电压为U?3000V，试求地面上感应电荷分布的 85?10规律。(?0?8.?12Fm) 解： h??a,则可认为电轴近似的放在输电线的轴线上，即h=b。若以地面为电位参考点，则??2??ln2h?aa??2??ln2hA?a?3000V00?=2???120?3000?2?3.14?8.85?10?3000=23.5?10-9Cln2h6000/maln5E1?E2??2??0???h2?x2En?2??h2??0?cos?=??0(h2?x2) ?????n??3?23.5?90E??9?x2??10C/m2 a?0h 6. 已知半径为R的无限长中空半圆柱面，均匀带电，电荷面密度为?0，则在其轴线上产生的电场强度为Ey???0e。一个带有均匀分布的电荷体密度为?0的半圆柱，半径也为??0yR，问它在轴线上产生的电场强度是多少？ 解：可将圆柱分为许多厚度为dr,其面密度?0=?0dr的半圆柱面，则距轴线半径为r的半圆柱面在轴线上产生的电场强度为?0drdEy??ey??0 整个半圆柱产生的总电厂强度为R?0?0R Ey??ey?dr??ey??00??07. 下图所示空气中一根长直细导线(截面可忽略不计），单位长度所带电荷量为?，平行放置于一块无限大导体平板上方，并与一块半无限大瓷介质(?2?4?0)相邻，且已知长直细导线到导体平板与瓷介质的距离均为d，画出求解空气中电场时，所需镜像电荷的个数、大小和位置(不要求解出电场）。 半 无 限 大2瓷 介 质?1-?2?0-4?03解：?’=?=?=-? ?3-?4?0+4?05?d???0d 无限大导体平板 8. 长直圆柱形电容器内外导体的半径分别为R1、R3，其间充满介电常数分别为?1、?2的两种介质,其分界面是半径为R2的圆柱面，若内导体单位长度带电荷量?Q，外导体内表面单位长度所带电荷量?Q，且外导体接地，如图所示，请写出两种介质区域内电位函数所满足的微分方程和边界条件。 解: ?2?1=0，R1???R2?2?2=0,R2???R3??1Q?1=-???=R12?R1R3R2R1?1?2?Q?Q?2??r3=0??R2 ?1??R2=?2??1??2?1??2???=R2???=R2 9．图示真空中有一半径为a的长直圆柱导体，其轴线离地面的高度为h，圆柱导体与地面 之间接有恒定电压源U0。若忽略端部的边缘效应，并以地面为电位参考点，试求：