静电场习题课1-14答案

静电场习题课

1.如图示真空中有两个半径分别为R1和R2的同心导体球壳,设内、外导体球壳上分别带有

净电荷Q1和Q2,外球壳的厚度忽略不计,并以无穷远处为电位参考点,试求: (1)导体球壳内、外电场强度E的表达式; (2)内导体球壳(r?R1)的电位?。

解:(1)外导体球壳的外表面所带电荷Q外?Q2?Q1,则

R2R1?0OQ1?0r

Q2R1?r?R2时,E2?Q14??0r2er;

E3?r>R2时,

R2Q2?Q1er24??0r;

?(2)

?R??E2dr??E3dr?1Q1R1R24??0R1(1?1R2)?Q1?Q211Q1Q2(?)??4??0R2?4??0R14??0R2

32.真空中有一个半径为3cm的无限长圆柱形区域内,有体密度??10 mCm均匀分布的电

荷。求:r?2cm, r?3cm, r?4cm处的电场强度E。 解:利用高斯定理,设R为圆柱形区域的半径,

Q.?sEdS??0

?r2?0当rE??3cm时,方向沿e?方向;

E?当r>3cm时,所以

R2?2?0r方向沿e?方向。

r=2cm,E1=1.13?107v/mr=3cm,E2=1.69?107v/mr=4cm,E3=1.27?107v/m

3.内导体半径为2cm和外导体的内半径为4cm的球形电容器,其间充满介电常数??2rFm的电介质。设外导体接地,而内导体带电,试求电容器介质内某点电位为内导体电位的一半时,该处的?值。 解:

?sD.dS?QQ

24?rQQE?,沿径向E?4??r28?rD?内导体的电位:?=?0.040.02QQdr?ln28?r8?

0.04r0设r0处电位?1=??ln2=2= r0?0.022m 0.04?1lnr02?==502F/m

0.022QQ0.04dr?8?r8?r0

4.一同轴线内圆柱导体半径为a,外圆柱导体半径为b,其间填充相对介电常数?r?质,当外加电压为U(外导体接地)时,试求:

(1)介质中的电通密度(电位移)D和电场强度E的分布; (2)介质中电位?的分布;

解:(1)由高斯通向定理

?的介aa???b时,D?D?0bU(b?a)?e?,

abUE??e?.2?r?0(b?a)?

(2) ?=?Ed???babU11(?)(以外导体为电位参考点)

(b?a)?b5. 图示空气中一输电线距地面的高度h?3m,输电线的半径为a?5mm,输电线

的轴线与地面平行,旦对地的电压为U?3000V,试求地面上感应电荷分布的

85?10规律。(?0?8.?12Fm)

解: h??a,则可认为电轴近似的放在输电线的轴线上,即h=b。若以地面为电位参考点,则??2??ln2h?aa??2??ln2hA?a?3000V00?=2???120?3000?2?3.14?8.85?10?3000=23.5?10-9Cln2h6000/maln5E1?E2??2??0???h2?x2En?2??h2??0?cos?=??0(h2?x2)

?????n??3?23.5?90E??9?x2??10C/m2

a?0h 6. 已知半径为R的无限长中空半圆柱面,均匀带电,电荷面密度为?0,则在其轴线上产生的电场强度为Ey???0e。一个带有均匀分布的电荷体密度为?0的半圆柱,半径也为??0yR,问它在轴线上产生的电场强度是多少?

解:可将圆柱分为许多厚度为dr,其面密度?0=?0dr的半圆柱面,则距轴线半径为r的半圆柱面在轴线上产生的电场强度为?0drdEy??ey??0

整个半圆柱产生的总电厂强度为R?0?0R Ey??ey?dr??ey??00??07. 下图所示空气中一根长直细导线(截面可忽略不计),单位长度所带电荷量为?,平行放置于一块无限大导体平板上方,并与一块半无限大瓷介质(?2?4?0)相邻,且已知长直细导线到导体平板与瓷介质的距离均为d,画出求解空气中电场时,所需镜像电荷的个数、大小和位置(不要求解出电场)。

半 无 限 大2瓷 介 质?1-?2?0-4?03解:?’=?=?=-?

?3-?4?0+4?05?d???0d 无限大导体平板

8. 长直圆柱形电容器内外导体的半径分别为R1、R3,其间充满介电常数分别为?1、?2的两种介质,其分界面是半径为R2的圆柱面,若内导体单位长度带电荷量?Q,外导体内表面单位长度所带电荷量?Q,且外导体接地,如图所示,请写出两种介质区域内电位函数所满足的微分方程和边界条件。 解:

?2?1=0,R1???R2?2?2=0,R2???R3??1Q?1=-???=R12?R1R3R2R1?1?2?Q?Q?2??r3=0??R2

?1??R2=?2??1??2?1??2???=R2???=R2

9.图示真空中有一半径为a的长直圆柱导体,其轴线离地面的高度为h,圆柱导体与地面

之间接有恒定电压源U0。若忽略端部的边缘效应,并以地面为电位参考点,试求:

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