静电场习题课
1．如图示真空中有两个半径分别为R1和R2的同心导体球壳，设内、外导体球壳上分别带有
净电荷Q1和Q2，外球壳的厚度忽略不计，并以无穷远处为电位参考点，试求： (1）导体球壳内、外电场强度E的表达式； (2）内导体球壳(r?R1)的电位?。
解：（1）外导体球壳的外表面所带电荷Q外?Q2?Q1，则
R2R1?0OQ1?0r
Q2R1?r?R2时，E2?Q14??0r2er；
E3?r>R2时，
R2Q2?Q1er24??0r；
?(2)
?R??E2dr??E3dr?1Q1R1R24??0R1(1?1R2)?Q1?Q211Q1Q2(?)??4??0R2?4??0R14??0R2
32.真空中有一个半径为3cm的无限长圆柱形区域内，有体密度??10 mCm均匀分布的电
荷。求：r?2cm, r?3cm, r?4cm处的电场强度E。 解：利用高斯定理，设R为圆柱形区域的半径，
Q.?sEdS??0
?r2?0当rE??3cm时，方向沿e?方向；
E?当r>3cm时，所以
R2?2?0r方向沿e?方向。
r=2cm，E1=1.13?107v/mr=3cm，E2=1.69?107v/mr=4cm，E3=1.27?107v/m
3.内导体半径为2cm和外导体的内半径为4cm的球形电容器，其间充满介电常数??2rFm的电介质。设外导体接地，而内导体带电，试求电容器介质内某点电位为内导体电位的一半时，该处的?值。 解：
?sD.dS?QQ
24?rQQE?,沿径向E?4??r28?rD?内导体的电位：?=?0.040.02QQdr?ln28?r8?
0.04r0设r0处电位?1=??ln2=2= r0?0.022m 0.04?1lnr02?==502F/m
0.022QQ0.04dr?8?r8?r0
4.一同轴线内圆柱导体半径为a，外圆柱导体半径为b，其间填充相对介电常数?r?质，当外加电压为U(外导体接地）时，试求：
(1)介质中的电通密度（电位移）D和电场强度E的分布； (2)介质中电位?的分布；
解:(1)由高斯通向定理
?的介aa???b时，D?D?0bU(b?a)?e?,
abUE??e?.2?r?0(b?a)?
(2) ?=?Ed???babU11(?)(以外导体为电位参考点）
(b?a)?b5. 图示空气中一输电线距地面的高度h?3m，输电线的半径为a?5mm，输电线
的轴线与地面平行，旦对地的电压为U?3000V，试求地面上感应电荷分布的
85?10规律。(?0?8.?12Fm)
解： h??a,则可认为电轴近似的放在输电线的轴线上，即h=b。若以地面为电位参考点，则??2??ln2h?aa??2??ln2hA?a?3000V00?=2???120?3000?2?3.14?8.85?10?3000=23.5?10-9Cln2h6000/maln5E1?E2??2??0???h2?x2En?2??h2??0?cos?=??0(h2?x2)
?????n??3?23.5?90E??9?x2??10C/m2
a?0h 6. 已知半径为R的无限长中空半圆柱面，均匀带电，电荷面密度为?0，则在其轴线上产生的电场强度为Ey???0e。一个带有均匀分布的电荷体密度为?0的半圆柱，半径也为??0yR，问它在轴线上产生的电场强度是多少？
解：可将圆柱分为许多厚度为dr,其面密度?0=?0dr的半圆柱面，则距轴线半径为r的半圆柱面在轴线上产生的电场强度为?0drdEy??ey??0
整个半圆柱产生的总电厂强度为R?0?0R Ey??ey?