【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
9.（2019山东德州，17，4分）如图，弦AB?CD，垂足为E，AB?BF，CD为O的直径，CE?1，AB?6，则弦AF的长度为 ．
【答案】
48 5【解析】】解：连接OA、OB，OB交AF于G，如图，
AB?CD， ?AE?BE?1AB?3， 2设O的半径为r，则OE?r?1，OA?r， 在Rt?OAE中，32?(r?1)2?r2，解得r?5， AB?BF，
?OB?AF，AG?FG，
在Rt?OAG中，AG2?OG2?52，① 在Rt?ABG中，AG2?(5?OG)2?62，② 解由①②组成的方程组得到AG??AF?2AG?48． 524， 5故答案为
48． 5【知识点】垂径定理；勾股定理
10. 15. （2019四川宜宾，15，3分）如图，O的两条相交弦AC、BD，?ACB??CDB?60?，AC?23，则O的面积是 ．
【答案】16?
【解析】】解：?A??BDC， 而?ACB??CDB?60?，
??A??ACB?60?， ??ACB为等边三角形，
AC?23，
?圆的半径为4，
?O的面积是16?，
故答案为：16?．
【知识点】圆周角定理
11. （2019浙江嘉兴，14，4分）如图，在O中，弦AB?1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD?OC交O于点D，则CD的最大值为 ．
【答案】
1 2【解析】解：连接OD，如图，
CD?OC，
??COD?90?，
?CD?OD2?OC2?r2?OC2， 当OC的值最小时，CD的值最大，
1而OC?AB时，OC最小，此时OC?r2?(AB)2，
2?CD的最大值为r2?(r2?AB2)?故答案为：
1． 214111AB??1?， 222【知识点】垂径定理；勾股定理
三、解答题
1. (2019浙江宁波,26,14分)如图1,O经过等边三角形ABC的顶点A,C(圆心O在△ABC内),分别与AB,CB的延长线交于点D,E,连接DE,BF⊥EC交AE于点F. (1)求证:BD＝BE;
(2)当AF:EF＝3:2,AC＝6时,求AE的长; (3)设
AF＝x,tan∠DAE＝y. EF①求y关于x的函数表达式;
②如图2,连接OF,OB,若△AEC的面积是△OFB面积的10倍,求y的值.
第26题图 【思路分析】(1)利用等边三角形的性质和圆周角定理,得到∠BED＝∠BDE,由等角对等边,得到结论;(2)由三线合一求出AG,BG长,利用平行线分线段成比例,求得EB,进而通过勾股定理得到AE的长;(3)①构造直角三角形,利用比例关系,写出EH,AH的代数式,进而求得y关于x的表达式;②构造相似,得到比例式,表示出两个三角形的面积,根据10倍关系,得到方程,即可解得y的值.
【解题过程】(1)∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC＝∠C＝60°,∠DEB＝∠BAC＝60°,∠D＝∠C＝60°,∠DEB＝∠D,BD＝BE.
11(2)如图,过点A作AG⊥EC于点G,∵△ABC为等边三角形,AC＝6,∴BG＝BC＝AC＝3,在Rt△ABG
22AFBG2中,AG＝3BG＝33,∵BF⊥EC,∴BF∥AG,∴,∵AF:EF＝3:2,∴BE＝BG＝2,∴EG＝BE+BG=EFEB3＝3+2＝5,∴在Rt△AEG中,AE＝AG2?EG2?213;
第26题答图(1)
(3)①如图,过点E作EH⊥AD于点H,∵∠EBD＝∠ABC＝60,在Rt△BEH中,
EH3＝sin60＝,EH＝
2EB1BGAF13BE,BH＝BE,＝x,BG＝xBE,AB＝BC＝2BG＝2xBE,AH＝AB+BH＝2xBE+BE＝=22EBEF23BE1EH332=?(2x+)BE,Rt△AHE中,tanEAD＝,∴y＝;
1?AH?4x?14x?12?2x??BE2??
第26题答图(2)
BGAF＝x,∴CG＝BG＝xBE＝ax,∴EC＝CG+BG+BE＝=EBEF111a+2ax,∴EM＝EC＝a+ax,∴BM＝EM－BE＝ax－a,∵BF∥AG,∴△EBF∽△EGA,∴
222②如图,过点O作OM⊥EC于点M,设BE＝a,∵
BFBEa1,∵AG＝===AGEGa?ax1?x3BG＝3ax,∴BF＝
13axAG＝,△OFB的面积＝
1?x1?xEC?AG1BF?BM13ax?1?,△AEC的面积＝??3ax?a?2ax?,∵△OFB的面积是△AEC的??ax?a??22x?1?2?223313ax?1?12面积的10倍,∴10???ax?a?＝?3ax?a?2ax?,∴2x－7x+6＝0,解之,得x1＝2,x2＝,y＝2x?1?2?292或3. 7
第26题答图(3)
【知识点】等边三角形的性质,圆周角定理,等角对等边,三线合一,平行线分线段成比例,勾股定理,三角函数,相似三角形,一元二次方程
2. （2019四川省自贡市，21，8分）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD、BC，
求证：（1）【思路分析】
（1）连接AO，BO，CO，DO,由AB=CD得到∠AOB=∠COD，从而证明出∠AOD=∠BOC即可得到（2）试判定△ADE≌△CBE即可得出结论. 【解题过程】解：（1）连接AO，BO，CO，DO,
；
；（2）AE=CE.
∵AB=CD，
∴∠AOB=∠COD， ∴∠AOD=∠BOC， ∴（2）∵∴AD=BC， ∵
， .
，
∴∠ADC=∠ABC， 又∵∠AED=∠CEB， ∴△ADE≌△CBE， ∴AE=CE.
【知识点】圆的性质，圆周角定理，全等三角形判定.