函数中因动点产生的相似三角形问题
例题 如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。 ⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为y??．．．
12x?x） 4⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；
⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。
OyABxOyABx图1 例1题图
图2
分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B．．．．．．．四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况 2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径
① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是．．
否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
- 一 -
?53?练习1、已知抛物线y?ax?bx?c经过P(3，，3)E?0?0)．
?2，?及原点O(0，??2（1）求抛物线的解析式．（由一般式得抛物线的解析式为y??．．．
2253x?x） 33（2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC．是否存在点Q，使得△OPC与△PQB相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）如果符合（2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个三角形
△OPC，△PQB，△OQP，△OQA之间存在怎样的关系？为什么？
yCOPBQAEx练习2、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y
轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处。已知折叠CE?55，且tan?EDA?（1）判断△OCD与△ADE是否相似？请说明理由； （2）求直线CE与x轴交点P的坐标；
3。 4（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。
练习3、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y?ax?bx?c(a?0)的图象与x轴交于A，B两点（点
2y C B E O D 练习2图 A x 3)和(?3，?12)． ，与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点(2，A在点B的左边）
（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为y??x?2x?3） ．．．
- 二 -
2
（2）若直线l:y?kx(k?0)与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由；A(?1，，0)B(3，0),C(0，3)
（3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角?PCO与，并写出此时点P的横坐标xp的取值范围． ?ACO的大小（不必证明）
y P x C l A A B y o C B x O
x?1 练习4图
练习3图
2练习4 (2008广东湛江市) 如图所示，已知抛物线y?x?1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标．
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG?x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与?PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
练习5、已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，?ACB?90，点A，C的坐标分别为A(?3，0)，C(1，0)，tan?BAC?o3． 439x? 44（1）求过点A，B的直线的函数表达式；点A(?3，0)，C(1，0)，B(1，3)，y?（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP?DQ?m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．
- 三 -
y B A
x
O C