浙江省2009年1月自考近世代数试题
课程代码：10025
一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1.以下关系中,哪个是实数集的元间的等价关系？( ) A.关系～：a～b?a2＋b2=1 B.关系～：a～b?a≤b C.关系～：a～b?a=2b D.关系～：a～b?a=b 2.设A是区间［0,1］上全体实函数组成的集合,规定： σ( f (x))=(x2＋1) f (x),?f (x)∈A, 则σ是A的( ) A.满变换
B.单变换
C.一一变换 D.不是A的变换
3.在有理数集Ｑ上定义代数运算a ?b=(a＋b)2,则这个代数运算( ) A.既适合结合律又适合交换律 B.适合结合律但不适合交换律 C.不适合结合律但适合交换律 D.既不适合结合律又不适合交换律 4.下列集合对所给运算作成群的是( ) A.全体实数对普通数的加法 B.全体实数对普通数的减法 C.全体实数对普通数的乘法
D.全体实数对普通数的除法
R?????ab??5.设
??00???a,b?Z???,那么R关于矩阵的加法和乘法构成环,则这个矩阵环是( A.有单位元的可换环 B.无单位元的可换环 C.无单位元的非可换环
D.有单位元的非可换环
二、填空题(本大题共9小题,每小题3分,共27分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.设A={a,b,c,d,e},则A的一一变换共有______个.
) 1
7.在4次对称群S4中,(134)2(312)-1=______.
8.在3次对称群S3中,H＝{(1),(12)}是S3的一个子群,则H (23)＝______． 9.设Z8是模8的剩余类环,则Z8中的零因子是______． 10.剩余类环Z15的可逆元有______个.
11.设Z［x］是整系数多项式环,则Z［x］的主理想(x2)＝______． 12.整环I＝｛所有复数a＋b?2(a,b是整数)｝,则I的单位是______．
?2i?1???i?1??=______. 13.设Q是有理数域,则Q
14.2?3在有理数域Q上的极小多项式是______．
三、解答题(本大题共小3题,第15小题10分,第16,17小题各12分,共34分)
15.设M是一个非空集合,2M是M的幂集(M的子集的全体称为M的幂集),问2M关于集合的并∪是否构成群？为什么？
16.找出模20的剩余类加群Z20的所有子群,并找出Z20的全部生成元.
??a0?R????b0?????17.设
???00???a,b?Z?x?Z????x0???关于矩阵的加法和乘法构成一个环,I =???证明：I是R的理想,
问商环R/I由哪些元素组成？
四、证明题(本大题共3小题,每小题8分,共24分) 18.设G是一个群,?a∈G证明：a与a-1的阶相同.
19.设G=Mn(Q)={有理数域上所有n阶可逆矩阵},H = {A|A∈G,|A|=1}证明：H是G的不变子群． 20.证明：一个域是一个欧氏环．
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