浙江省2009年1月大学数学自学考试试题汇编近世代数试题

浙江省2009年1月自考近世代数试题

课程代码:10025

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.以下关系中,哪个是实数集的元间的等价关系?( ) A.关系~:a~b?a2+b2=1 B.关系~:a~b?a≤b C.关系~:a~b?a=2b D.关系~:a~b?a=b 2.设A是区间[0,1]上全体实函数组成的集合,规定: σ( f (x))=(x2+1) f (x),?f (x)∈A, 则σ是A的( ) A.满变换

B.单变换

C.一一变换 D.不是A的变换

3.在有理数集Q上定义代数运算a ?b=(a+b)2,则这个代数运算( ) A.既适合结合律又适合交换律 B.适合结合律但不适合交换律 C.不适合结合律但适合交换律 D.既不适合结合律又不适合交换律 4.下列集合对所给运算作成群的是( ) A.全体实数对普通数的加法 B.全体实数对普通数的减法 C.全体实数对普通数的乘法

D.全体实数对普通数的除法

R?????ab??5.设

??00???a,b?Z???,那么R关于矩阵的加法和乘法构成环,则这个矩阵环是( A.有单位元的可换环 B.无单位元的可换环 C.无单位元的非可换环

D.有单位元的非可换环

二、填空题(本大题共9小题,每小题3分,共27分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.设A={a,b,c,d,e},则A的一一变换共有______个.

) 1

7.在4次对称群S4中,(134)2(312)-1=______.

8.在3次对称群S3中,H={(1),(12)}是S3的一个子群,则H (23)=______. 9.设Z8是模8的剩余类环,则Z8中的零因子是______. 10.剩余类环Z15的可逆元有______个.

11.设Z[x]是整系数多项式环,则Z[x]的主理想(x2)=______. 12.整环I={所有复数a+b?2(a,b是整数)},则I的单位是______.

?2i?1???i?1??=______. 13.设Q是有理数域,则Q

14.2?3在有理数域Q上的极小多项式是______.

三、解答题(本大题共小3题,第15小题10分,第16,17小题各12分,共34分)

15.设M是一个非空集合,2M是M的幂集(M的子集的全体称为M的幂集),问2M关于集合的并∪是否构成群?为什么?

16.找出模20的剩余类加群Z20的所有子群,并找出Z20的全部生成元.

??a0?R????b0?????17.设

???00???a,b?Z?x?Z????x0???关于矩阵的加法和乘法构成一个环,I =???证明:I是R的理想,

问商环R/I由哪些元素组成?

四、证明题(本大题共3小题,每小题8分,共24分) 18.设G是一个群,?a∈G证明:a与a-1的阶相同.

19.设G=Mn(Q)={有理数域上所有n阶可逆矩阵},H = {A|A∈G,|A|=1}证明:H是G的不变子群. 20.证明:一个域是一个欧氏环.

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