突破点5 数列求和及其综合应用
(对应学生用书第19页)
[核心知识提炼]
提炼1 an和Sn的关系
??S1，n＝1， 若an为数列{an}的通项，Sn为其前n项和，则有an＝?
?Sn－Sn－1，n≥2.?
在使用这个关系式时，
一定要注意区分n＝1，n≥2两种情况，求出结果后，判断这两种情况能否整合在一起. 提炼2求数列通项常用的方法
(1)定义法：①形如an＋1＝an＋c(c为常数)，直接利用定义判断其为等差数列．②形如an＋1＝
kan(k为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列．
(2)叠加法：形如an＋1＝an＋f(n)，利用an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)，求其通项公式． (3)叠乘法：形如
an＋1a2a3an＝f(n)≠0，利用an＝a1···…·，求其通项公式． ana1a2an－1
(4)待定系数法：形如an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝，再转化为等比数列求解．
1－p (5)构造法：形如an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)，先在原递推公式两边同除以qn＋1
nq，得
an?an＋1pan1p1?
n＋1＝·n＋，构造新数列{bn}?其中bn＝n?，得bn＋1＝·bn＋，接下来用待定q?qqqqqq?
系数法求解．
(6)取对数法：形如an＋1＝pan(p>0，an>0)，先在原递推公式两边同时取对数，再利用待定系数法求解. 提炼3数列求和
数列求和的关键是分析其通项，数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法，错位相减法是常用的两种方法. 提炼4数列的综合问题
数列综合问题的考查方式主要有三种：
(1)判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者是借助数列对应函数的单调性比较大小．
(2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最值问题． (3)考查与数列有关的不等式的证明问题，此类问题大多还要借助构造函数去证明，或者是直接利用放缩法证明或直接利用数学归纳法．
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[高考真题回访]
回访1 数列求和
1．(2014·浙江高考)已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an＝(2)bn(n∈N)．若{an}为等比数列，*
且a1＝2，b3＝6＋b2. (1)求an与bn；
(2)设c11*
n＝a－(n∈N)．记数列{cn}的前n项和为Sn.
nbn ①求Sn；
②求正整数k，使得对任意n∈N*
，均有Sk≥Sn. [解] (1)由题意知a1a2a3…an＝(2)bn，b3－b2＝6， 知a3＝(2)b3－b2＝8.
又由a1＝2，得公比q＝2(q＝－2舍去)， 2分 所以数列{an}的通项为an*n＝2(n∈N)， 所以，an＋
(n＋1)．
1a2a3…ann＝22
＝(2)
n
故数列{b*
n}的通项为bn＝n(n＋1)(n∈N). 5分 (2)①由(1)知c111n＝a－＝n－?nbn2?1?n－1n＋1???(n∈N*)， 所以S1n＋1－1*
n＝
2
n(n∈N).
②因为c1＝0，c2>0，c3>0，c4>0， 当n≥5时，c1n＝nn?＋?nn＋
?
2n－1???
，
而nn＋
n＋
n＋
n＋
n－
2n－2n＋1
＝2n＋1
>0，
得
nn＋
＋
2
n≤2
5<1，
所以，当n≥5时，cn<0.
综上，对任意n∈N*
恒有S4≥Sn，故k＝4. 14分 回访2 数列的综合问题
2．(2017·浙江高考)已知数列{x*
n}满足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N)． 证明：当n∈N*
时， (1)0 n≤ 2 ； 7分 9分 11分 (3) 112 n－1≤xn≤ 2 n－2 . [解] (1)证明：用数学归纳法证明：xn>0. 当n＝1时，x1＝1>0. 假设n＝k时，xk>0， 那么n＝k＋1时， 若xk＋1≤0，则0 n>0(n∈N)． 所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)>xn＋1. 因此0 ). (2)证明：由xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)得 xnxn＋1－4xn＋1＋2xn ＝x2 n＋1－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1). 记函数f(x)＝x2 －2x＋(x＋2)ln(1＋x)(x≥0)， 2 f′(x)＝2x＋xx＋1＋ln(1＋x)>0(x>0)， 函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 所以f(x)≥f(0)＝0， 因此x2 n＋1－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)＝f(xn＋1)≥0， 故2xxnxn＋1 n＋1－xn≤ 2 (n∈N* ). (3)证明：因为xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1＝2xn＋1， 所以x1 n≥2n－1. 由xnxn＋1 2≥2xn＋1－xn 得 1 x－1≥2?＋12?1?x－1? n2?? >0， n 所以 11x－?111x?2≥2??x－?≥…≥2n－1??1－12?? ＝2n－2， n n－12??? 故x1 n≤2 n－2. 综上，12x1* n－1≤n≤2n－2(n∈N). 3．(2016·浙江高考)设数列{an}满足?? aan＋1? n－ 2??? ≤1，n∈N* . 3分 5分 7分 10分 13分 15分