大学物理学-第1章习题解答

大学物理简明教程(上册)习题选解

第1章 质点运动学

1-1 一质点在平面上运动,其坐标由下式给出x?(3.0t?4.0t2)m,y?(?6.0t2?t3)m。求:(1)在

t?3.0s时质点的位置矢量;

(2)从t?0到t?3.0s时质点的位移;(3)前3s内质点的平均速度;(4)在t?3.0s时质点的瞬时速度;

(5)前3s内质点的平均加速度;(6)在t?3.0s时质点的瞬时加速度。

解:(1)r?(3.0t?4.0t2)i?(?6.0t2?t3)j m 将t?3.0s代入,即可得到 r3??27(i?j)m

(2)?r?r3?r0,代入数据即可。

(3)注意:v?r3?r03?0=?(9i?9j)m/s

(4)v?drdt=?(21i?9j)m/s。

(5)注意:a?v3?v0=?(8i?3j)m/s23?0

(6)a?dv=?(8i-6j)m/s2dt,代入数据而得。

1-2 某物体的速度为v0?(125i?25j)m/s,3.0s以后它的速度为v?(100i-75j)m/s。 在这段时间内它的平均加速度是多少?

解:a?v3?v03?0=?(8.33i?33.3j)m/s2

1-3 质点的运动方程为r?(i?4t2j?t k)m。(1)写出其速度作为时间的函数;(2)加速度作为时间的函数; (3)质点的轨道参数方程。

解:(1)v?drdt=(8t j?k)m/s (2)a?dvdt=8j m/s2; (3)x?1;y?4z2。

1-4 质点的运动方程为x?2t,y?2?t2(所有物理量均采用国际单位制)。求:(1)质点的运动轨迹;(2)从t?0到t?2s时间间隔内质点的位移?r及位矢的径向增量。

解:(1)由x?2t,得t?x2,代入y?2?t2,得质点的运动轨道方程为 y?2.0?0.25x2;

1

(2)位移 ?r?r2?r0=4(i?j)m 位矢的径向增量 ?r?r2?r0=2.47m。 (3)删除。

1-6 一质点做平面运动,已知其运动学方程为x?3cosπt,y?sinπt。试求:

(1)运动方程的矢量表示式;(2)运动轨道方程;(3)质点的速度与加速度。

解:(1)r?3cosπti?sinπtj;

2)x2(9?y?1

(3)v??π3sinπti?cosπtj;

y *1-6 质点A以恒

A 定的速率v?3.0m/s沿 ? a 直线y?30.0m朝?x方 B O x 向运动。在质点A通过y 题1-6图 轴的瞬间,质点B以恒 定的加速度从坐标原点

出发,已知加速度a?0.40m/s2,其初速度为零。试求:欲使这两个质点相遇,a与y轴的夹角?应为多大? 解:提示:两质点相遇时有,xA?xB,yA?yB。因此只要求出质点A、B的运动学方程即可。或根据

(vt)2?y2?(1at2)2可解得:??60?2。

1-77 质点做半径为R的圆周运动,运动方程为

s?v120t?2bt,其中,s为弧长,v0为初速度,b为正

的常数。求:(1)任意时刻质点的法向加速度、切向加速度和总加速度;(2)当t 为何值时,质点的总加速度在数值上等于b?这时质点已沿圆周运行了多少圈?

解:(1)先求速率v?dsdt?v0?bt; a?dvv2?v2dt??b;a0?bt?tn?R?R; (2)令a?a2?a2tn?1Rb2R2??v40?bt?=b 解得 t?v0b; 根据N?S2?R, 将t代入得质点

2v0运行圈数:N?。 4πbR解:同上题,用积分法得 v = 8(1?e?4t)m/s。

*1-8 在离水面高 为h的河岸上,有人以恒 定的速率u拉绳子使小船 u C l h o A 1-12 子弹以初速度v0?200m/s发射,初速度与水平方向的夹角为60?。求:(1)最高点处的速度和加靠岸。求:当小船与河岸 题1-8图x 的水平距离为x时,小船 的速度和加速度的大小。 解:(1)设船速为v,绳长为l。注意:人拉绳,船前进时l、x和?都在变。 由图中可找到几何关系l2?h2?x2,两边求导得2ldlddt?2xxdt, 而 u?dldt, v?dxdt, 故小船的速度 v?dxdt?lxu=u1?h2x2 (2)将上式对t求导,得a?dvdt=ddt(u1?h2x2) 小船的加速度的大小为a =h22x3u。 1-9 一物体沿直线运动,其速度和时间的关系为v?(0.1?0.02t2)m/s,当t?0时,物体在坐标原点右方0.2m处。求:(1)t?0和t?2s末时物体的加速度;(2)t?0和t?2s末时物体的位置;(3)物体是否作匀加速直线运动? 解:已知v?(0.1?0.02t2)m/s,求导得a?0.04t,积分并代入初始条件,得x?0.2?0.1t?0.023t3。 (1)将t?0和t?2s代入得x = 0.2m;x = 0.453m (2)将t?0和t?2s代入得a = 0;a = 0.08m/s2。 1-10 物体沿直线运动,其加速度和时间的关系为a?(4?t2)m/s2。已知t?3.0s时,该质点的速度为v?2.0m/s,坐标x?9.0m。求质点的运动方程。 解:这是运动学第二类问题,用积分法,并带入初始条件得 x?2t2?112t4?t?0.75m。 1-11 物体沿直线运动, 其加速度和速度的关系 为a?(32?4v)m/s2,已知t?0时,x?0,v?0。求该物体在任意位置的速度。

速度;(2)轨道最高点的曲率半径。

解:(1)在最高点处速度沿轨道切线方向,即水平方向,大小为v0cos?=100m/s; 加速度的方向指向地心,大小为 g。

22(2)根据an?v?,得曲率半径??va?1000m。

n1-13 飞机以100m/s的速度沿水平直线飞行,在距离地面100m高处,驾驶员要将救灾物资投放到前方预定地点。(1)此时目标应在飞机下前方多远?(2)物品投出2s后的切向加速度和法向加速度各为多少?(提示:任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为

??arctangtv。

解:(1)这是平抛运动。就在物资的运动学方程为: 水平方向:x?vt,

竖直方向:y?12gt2。 解得 x?2y?2?100g9.8?452m (2)at?gsin?,an?gcos?,而??arctangtv, 解得 at?1.88m/s2

1-14 一气球以匀速率v0从地面上升。由于风的影响,它获得了一个水平速度vx?by(b为常数,y为上升高度)。求:(1)写出气球的运动方程; (2)气球的水平偏离与高度的关系x(y);(3)气球沿轨道运动的切向加速度和曲率如何随着上升高度y变化。

解:(1)已知vy?v0,显然有y?v0 t;

而 vbv20x?by?bv0 t,积分得x?2t2; 气球的运动学方程为 r?bv02t2i?v0tj; (2)轨道方程为 x?b2vy2; 0(3)气球的运动速率v?v2?v2222xy?b2v0t?v0,故 切向加速度为 advb2v0yt?dt?b2y2?v2

0

22(4)由于a?at2?an,所以an?a2?an?v2?,

1-18 当骑车人以速度18km/h自西向东行进时,看见雨滴垂直下落,当他把速度加快为36km/h时,看见雨滴在与它前进方向成120?下落,求雨滴对地面的速度。

解:同上,以地面为参考系。车相对于地面速度v1,自西向东;雨滴相对地面速度v2,骑车人看见雨滴速度v?2(相对速度)。

由左图:

v2sin??v1,得v2?得,曲率半径为 ??(by?v)2bv0222032

1-15 杂技表演中摩托车沿半径为50.0m的圆形路线行驶,摩托车运动方程为S?(10.0?10.0t?0.5t)m,在t?5.0s时,它的运动速率、切向加速度、法向加速度和总加速度是多少?

dS?10.0?1.0t,将t?5.0s代dt入,得速率为v=5m/s;

2v118?km/h=36km/h sin?sin?解:根据速率v??故可知 v2与v? 2数值相等,方向为竖直向下偏西30,

如右图所示。

1-19 当速率为30m/s的西风正吹时,相对于地面而言,向东、向西、向北传播的声音的速率各是多少?已知声音在空气中的传播速率为344m/s。 解:向东: (344 + 30)m/s = 374m/s

向西: (344 - 30)

m/s = 374m/s

dv,将t?5.0s代入,得切向加速度at??1m/s2;dtv22 = 1.1m/s2。 an??0.5m/s2;a?at2?anRat?1-16 一质点沿半径为0.10m的圆周运动,角位移用下式表示:??(2?t3)rad。求质点的切向加速度的大小正好等于总加速度大小的一半时,?的数值。

解:将??(2?t3)rad对t求导得速率,再求导得

2加速度,由于a?at2?an,当切向加速度的大小正好

v?3442?302?345m/s

1-20 一条东西方向的小河,河宽为100m,河水以3.0m/s的流速向正东方向流动。有一条船从南岸的码头出发向正北方向行驶, 船相对于水的速率为

等于总加速度大小的一半时,?的数值为3.15rad。

1-17 一电子在电场中运动,其运动方程为(1)计算电子的运动轨迹;x?3t,y?12?3t2(SI)。

(2)计算t?1s时电子的切向加速度、法向加速度及轨道上该点处的曲率半径;(3)在什么时刻电子的位矢与其速度矢量恰好垂直。

4.0m/s。求:(1)小船相对于地面的速度:(2)小船

到达对岸的何处? 解:

(1)v?4.02?3.02?5.0m/s x解:(1)从参数方程消t得电子轨迹:y?12?;

33.053.1? tan???0.75,方向为东偏北

4.0(2)方法同前,得at?5.37m/s2;at?2.68m/s2;

??16.8m;

(3)位矢与其速度矢量恰好垂直时有r?v?0,结果为 t = 1.87s。

(2)

d3.0?, 1004.0解得d = 75m,即码头正对岸下游处75m处。

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