第2课时 函数奇偶性的应用
1．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝－x＋1 C．f(x)＝x＋1
[解析] 设x<0，则－x>0.
∴f(－x)＝x＋1，又函数f(x)是奇函数． ∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1， ∴f(x)＝－x－1(x<0)． [答案] B
2．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单凋递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是( )
A．f(－π)>f(3)>f(－2) B．f(－π)>f(－2)>f(3) C．f(3)>f(－2)>f(－π) D．f(3)>f(－π)>f(－2) [解析] ∵f(x)是R上的偶函数， ∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)， 又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π， ∴f(π)>f(3)
B．f(x)＝－x－1 D．f(x)＝x－1
?1?3．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1) 围为( ) ?12??12?A.?，? B.?，? ?33??33??12??12?C.?，? D.?，? ?23??23? ?1?[解析] 由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x－1) ?3? 1112即－<2x－1<，解得 3333 [答案] A 1 4．若奇函数f(x)在区间[2,5]上的最小值是6，那么f(x)在区间[－5，－2]上有( ) A．最小值6 C．最大值－6 B．最小值－6 D．最大值6 [解析] 因为奇函数f(x)在[2,5]上有最小值6，所以可设a∈[2,5]，有f(a)＝6.由奇函数的性质，f(x)在[－5，－2]上必有最大值，且最大值为f(－a)＝－f(a)＝－6. [答案] C 33 5．函数f(x)＝x＋x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为________． 33 [解析] ∵f(a)＝2，∴a＋a＋1＝2， a3＋a＝1.∴f(－a)＝(－a)3＋－a＋1＝－(a3＋a)＋1＝－1＋1＝0. [答案] 0 课内拓展 课外探究 一、抽象函数的奇偶性与对称性 我们知道研究函数的奇偶性的实质是研究函数图象的对称性，只不过它是一种特殊的对称性，是关于原点或y轴对称的问题．那么，我们能否把这种对称性进行推广呢？ 1．函数图象关于直线x＝a对称的问题 【典例1】 当函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称时，会满足怎样的条件呢？ [解] 如图所示，在直线x＝a两边取对称的两个自变量的值，如a－x，a＋x，由对称性知它们的函数值相等，即f(a－x)＝f(a＋x)； 333 反之，若对定义域内任一值x都有f(a－x)＝f(a＋x)，则可证明其图象关于直线x＝a对称． 证明：设函数y＝f(x)的图象上任一点为P(x，y)，则它关于直线x＝a的对称点为P′(2a－x，y)．因为f(a－x)＝f(a＋x)，所以f(2a－x)＝f[a＋(a－x)]＝f[a－(a－x)]＝f(x)． 这说明点P′(2a－x，y)也在函数y＝f(x)的图象上，则函数图象关于直线x＝a对称， 2 由此得出：函数y＝f(x)对定义域内任一值x都有f(a－x)＝f(a＋x)?y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． 若改变在直线x＝a两边取值的情况会得到如下结论： f(x)在定义域内恒满足的条件 f(a＋x)＝f(a－x) f(x)＝f(a－x) f(a＋x)＝f(b－x) 2.函数图象关于点(a,0)对称的问题 【典例2】 当函数y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称时，又会满足怎样的条件呢？ [解] 如图所示，在直线x＝a两边取对称的两个自变量的值，如a－x，a＋x，由对称性知它们的函数值互为相反数，即f(a－x)＝－f(a＋x)； y＝f(x)的图象的对称轴 直线x＝a 直线x＝ 2直线x＝aa＋b2 反之，若对定义域内任一值x都有f(a－x)＝－f(a＋x)，则可证明其图象关于点(a,0)对称． 证明：设函数y＝f(x)图象上任一点为P(x，y)，则它关于点(a,0)的对称点为P′(2a－x，－y)．因为f(a－x)＝－f(a＋x)，所以f(2a－x)＝f[a＋(a－x)]＝－f[a－(a－x)]＝－f(x)＝－y. 这说明点P′(2a－x，－y)也在函数y＝f(x)的图象上，则函数图象关于点(a,0)对称． 由此得出：函数y＝f(x)对定义域内任一值x都有f(a－x)＝－f(a＋x)?y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称． 若改变在直线x＝a两边取值的情况会得到如下结论： f(x)在定义域内恒满足的条件 f(a－x)＝－f(a＋x) y＝f(x)的图象的对称中心 点(a,0) 3