第六章 定积分
§6.1~6.2 定积分的概念、性质
一、填空题
1、设f(x)在[a,b]上连续，n等分[a,b]:a?x0?x1??xn?1?xn?b，并取小区
nb?ab?a)??间左端点xi?1，作乘积f(xi?1)?，则lim?f(xi?1n??nni?1??2baf(x)dx.
2、根据定积分的几何意义，
??20xdx?2，
?1?11?x2dx?，
??sinxdx??0.
3、设f(x)在闭区间[a,b]上连续，则
?baf(x)dx??f(t)dt?ab0.
二、单项选择题
1、定积分
?baf(x)dx (C) .
(A) 与f(x)无关 (B) 与区间[a,b]无关 (C) 与变量x采用的符号无关 (D) 是变量x的函数 2、下列不等式成立的是 (C) . (A) (C)
?21x2dx??x3dx (B) ?lnxdx??(lnx)2dx
111222?10xdx??ln(1?x)dx (D) ?edx??(1?x)dx
00011x13、设f(x)在[a,b]上连续，且
?baf(x)dx?0，则 (C) .
(A) 在[a,b]的某小区间上f(x)?0 (B) [a,b]上的一切x均使f(x)?0 (C) [a,b]内至少有一点x使f(x)?0 (D) [a,b]内不一定有x使f(x)?0 4、积分中值公式
?baf(x)dx?f(?)(b?a)中的?是 (B) .
(A) [a,b]上的任一点 (B) [a,b]上必存在的某一点
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(C) [a,b]上唯一的某一点 (D) [a,b]的中点
db5、arctanxdx? (D) .
dx?a析：
?baarctanxdx是常数
(A) arctanx (B)
?1
(C) arctanb?arctana (D) 0 2
1?x
??34??sinxdx206、设I1??40xxd,I2??4xxdI,0，则I1,I2,3I的关系为 (B) . (A) I1?I2?I3 (B) I2?I1?I3 (C) I3?I1?I2 (D) I1?I3?I2 7、设I??10x4dx，则I的值 (A) . 1?x(A) 0?I?1111 (B) ?I?1 (C) ?I? (D) I?1
565212x4析：f(x)?在?0,1?上的最大值是，最小值是0，所以0?I?.
21?x2三、估计定积分I??ex?xdx的值.
022解 记f(x)?ex2?x,x?[0,2]，则f?(x)?(2x?1)ex?x，令f?(x)?0，得x?21. 2?1??22因为f???e4,f(0)?1,f(2)?e，所以f(x)在[0,2]上的最大值为e，最小值为
?2?e，从而 2e?141?14?I??ex?xdx?2e2.
022四、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且
存在一点??(a,b)，使得f?(?)?0.
证明 由积分中值定理，存在一点??[a,b]，使得
1bf(x)dx?f(b).求证：至少
b?a?a?baf(x)dx?f(?)(b?a)，即
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b1f(x)dx?f(?).又由题设可知，f(x)在[?,b]上连续，在(?,b)内可导，且有
b?a?af(?)?f(b)，根据罗尔定理，存在一点??(?,b)?(a,b)，使得f?(?)?0.
§6.3微积分的基本公式
一、填空题
1、若f(x)??x20t?1?t2dt，则f?(x)?32x3?1?x4. 3.
dx3dx2、?dx?x21?t43x21?x?12?2x1?x8?3、极限limx?0x0sin3tdt1?cosx3.
4、定积分
?41x?2dx?52.
5、设f(x)??y01?x,x?0，则?f(x)dx??1?sinx,x?02cos1?12.
6、由方程
?etdt??costdt?0所确定的隐函数y?y(x)的导数
0xdy?dx?cosxey2.
7、设f(x)是连续函数，且
?x3?10f(t)dt?x，则f(7)??3112.
8、设f(x)?101113?xf(x)dx，则?0?0f(x)dx?1?x210.
1析：设
?f(x)dx?A，则等式两端同时积分得?111f(x)dx??dx??x3?Adx 201?x0 A?arctanx|0?A?,?143??A?,A?. 4439、设f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(x)?0，则方程
?xaf(t)dt??xb1dt?0在开f(t)区间(a,b)内有1个实根.
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析：设F(x)??xaf(t)dt??F(a)??abxb1dt，则有 f(t)b1dt?0,F(b)??f(t)dt?0,
af(t)由根的存在定理知至少有存在一个???a,b?使得F(?)?0；
若方程有两个根，不妨设?1,?2即F(?1)?0,F(?2)?0,则由罗尔定理知,????a,b?使得F?(?)?0, 即使得f(x)?所以方程又且只有一个根.
1?0成立，这与f(x)?0矛盾， f(x)二、单项选择题
1、下列积分中能用微积分基本公式的只有 (C) .
3dx1dx1dxdx(A) ? (B) ?1 (C) ? (D) ?
?1x2?12?1xlnxx?1e4?x1x2x2、设F(x)?f(t)dt，其中f(x)是连续函数，则limF(x)? (B) . ?ax?ax?a2(A) a (B) af(a) (C) 0 (D) 不存在
23、设f(x)??1?cosx0x5x6sintdt,g(x)??，则当x?0时，f(x)是g(x)的 (B) .
562(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小 (C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小 析: limx?0?0f(x)?limg(x)x?0x5x6?56?x01?cosxsint2dtx4()4?x?lim425?0. x?0x?x三、求limx?0t(et?1)dtx2sinx.
解 根据洛必得法则，得
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?limx?0x0t(et?1)dtx2sinx??limx?0x0t(et?1)dtx3x(ex?1)x21?lim?lim2?. 2x?0x?03x3x3
?t四、求函数I(x)??tedt的极值.
0x2解 I?(x)?xe?x，I??(x)?e2?x2?xe?x(?2x)??1?2x2?e?x.令I?(x)?0，得驻点x?0,
22又I??(0)?1?0，所以x?0是I(x)得极小值点，极小值为I(0)?0.
?五、求?21?sin2xdx.
0???解
?201?sin2xdx??201?2sinxcosxdx??2(sinx?cosx)2dx
0?? ??20sinx?cosxdx???4040?cosx?sinx?dx???2?sinx?cosx?dx
4? ??sinx?cosx????cosx?sinx??0?2?4?22?2.
六、已知?(x?t)f(t)dt?1?cosx，证明：?2f(x)dx?1.
0x证明 原式可化为 x两边对x求导，得
?xx0f(t)dt??tf(t)dt?1?cosx，
0x?0f(t)dt?xf(x)?xf(x)?sinx，即?f(t)dt?sinx，
0x令x?
?2
?，得?2f(t)dt?sin0?2??1，即 ?2f(x)dx?1.
0§6.4 定积分的换元积分法
一、填空题
1、设f(x)在区间[?a,a]上连续，则
?a?ax2[f(x)?f(?x)]dx?01200.
2、
?
911dx?x?x2ln2. 3、
?01?2(2x?1)99dx?.
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