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∴d1+d2=|m|+|2m﹣4|，
当0≤m≤2时，d1+d2=m+4﹣2m=4﹣m=3， 解得：m=1，此时P1（1，﹣2）； 当m＞2时，d1+d2=m+2m﹣4=3， 解得：m=，此时P2（，）； 当m＜0时，不存在，
综上，P的坐标为（1，﹣2）或（，）； （3）设P（m，2m﹣4）， ∴d1=|2m﹣4|，d2=|m|， ∵P在线段AB上， ∴0≤m≤2，
∴d1=4﹣2m，d2=m， ∵d1+ad2=4，
∴4﹣2m+am=4，即（a﹣2）m=0， ∵有无数个点， ∴a=2．
【总结升华】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，线段中点坐标公式，绝对值的代数意义，以及坐标与图形性质，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键． 举一反三：
【变式】已知：如图所示，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(0，4)，
直线CM∥x轴．点B与点A关于原点对称，直线y＝x+b(b为常数)经过点B，且与直线CM相交于点D，连接OD．
(1)求b的值和点D的坐标．
(2)设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标． 【答案】
(1)因为点B与点A关于原点对称，点A的坐标为(1，0)，所以点B的坐标为(-1，0)． 因为直线y＝x+b(b为常数)经过点B，所以0＝-1+b，解得b＝1，所以直线为y＝x+1． 因为点C的坐标为(0，4)，直线CM∥x轴，所以点D的纵坐标为4． 因为直线y＝x+1与直线CM交于点D，当y＝4时，4＝x+1，解得x＝3，
所以点D的坐标为(3，4)．
(2)因为O为原点，点D的坐标为(3，4)，点C的坐标为(0，4)，所以OC＝4，CD＝3， 所以OD＝5．
因为点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，则分三种情况：
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1OD ①当PD＝PO时，有cos?DOP?2，
POCD3 因为cos?DOP?cos?CDO??，
OD51OD253所以2． ?，解得PO?6PO525所以点P的坐标为(，0)．
6 ②当PD＝OD时，PO＝2CD＝6， 所以点P的坐标为(6，0)．
③当OD＝PO时，PO＝5，
所以点P的坐标为(5，0)．
类型三、反比例函数
4．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数y=（1）求边AB的长；
（2）求反比例函数的解析式和n的值；
（3）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正半轴交于点H、G，求线段OG的长．
k（k≠0）在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA=． x
【思路点拨】
（1）由点E的纵坐标得出OA=4，再根据tan∠BOA=
1 即可求出AB的长度； 2（2）根据（1）求出点B的坐标，再根据点D是OB的中点求出点D的坐标，然后利用待定系数法求函
数解析式求出反比例函数解析式，再把点E的坐标代入进行计算即可求出n的值；
（3）利用反比例函数解析式求出点F的坐标，从而得到CF的长度，连接FG，根据折叠的性质可得FG=OG，
然后用OG表示出CG的长度，再利用勾股定理列式计算即可求出OG的长度. 【答案与解析】
解：（1）∵点E（4，n）在边AB上，∴OA=4，
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在Rt△AOB中，∵tan∠BOA=
11，∴AB=OA×tan∠BOA=4×=2. 22（2）由（1），可得点B的坐标为（4，2），
∵点D为OB的中点，∴点D（2，1）.
kk（k≠0）的图象上，∴2=，解得k=2. x12∴反比例函数解析式为y=.
x21又∵点E（4，n）在反比例函数图象上，∴n==.
42∵点D在反比例函数y=
（3）如图，
∵反
∴2=，解得a=1.∴CF=1.
连接FG，设OG=t，则OG=FG=t，CG=2﹣t， 在Rt△CGF中，GF=CF+CG，即t=（2﹣t）+1， 解得t=
2
2
2
2
2
2
设点F（a，2），
比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，
2a55，∴OG=t=. 44【总结升华】本题综合考查了反比例函数的知识，包括待定系数法求函数解析式，点在函数图象上，锐角三角函数的定义，以及折叠的性质，求出点D的坐标，然后求出反比例函数解析式是解题的关键． 举一反三：
【课程名称： 反比例函数 408332 例5】
【变式1】（2015?枣庄）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使kx+b＜成立的x的取值范围； （3）求△AOB的面积．
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【答案】
解：（1）∵点A（m，6），B（3，n）两点在反比例函数y=（x＞0）的图象上， ∴m=1，n=2， 即A（1，6），B（3，2）． 又∵点A（m，6），B（3，n）两点在一次函数y=kx+b的图象上， ∴解得
． ，
则该一次函数的解析式为：y=﹣2x+8；
（2）根据图象可知使kx+b＜成立的x的取值范围是0＜x＜1或x＞3；
（3）分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点． 令﹣2x+8=0，得x=4，即D（4，0）． ∵A（1，6），B（3，2）， ∴AE=6，BC=2，
∴S△AOB=S△AOD﹣S△BOD=×4×6﹣×4×2=8．
【变式2】已知双曲线y?322和直线y?kx?2相交于点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，且x1?x2?10. x求k的值.
【答案】
?y?kx?23232由?得．∴． ?kx?2，kx?2x?3?0x?x??，xx??12123?xkky??x?资料来源于网络 仅供免费交流使用
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故x1?x2??x1?x2??2x1x2?224622k?1． ∴．∴或. 5k?3k?2?0??10k??12k2k5122又b?4ac?4?12k??即k??，舍去k2??，故所求k的值为1.
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类型四、函数综合应用
5．如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和
点B，且OA＝OB＝1.这条曲线是函数y?1的图像在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一2x点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F.
（1）分别求出点E、F的坐标（用a的代数式表示点E的坐标，用b的代数式表示点F的坐标，只须写出结果，不要求写出计算过程）；
（2）求△OEF的面积（结果用含a、b的代数式表示）；
（3）△AOF与△BOE是否一定相似，请予以证明.如果不一定相似或一定不相似，简要说明理由；
（4）当点P在曲线y?1上移动时，△OEF随之变动，指出在△OEF的三个内角中，大小始终保2x持不变的那个角的大小，并证明你的结论.
y
B
FP(a，b)N
E xOMA
问题图
【思路点拨】
在证明三角形相似时，∠EBO＝∠OAF是较明显的，关键是证明两夹边对应成比例，这里用到了
点P（a，b）在双曲线y?1上这一重要条件，挖掘形的特征，并把形的因素转化为相应的2x代数式形式是解本题的关键.
【答案与解析】
（1）点E（a，1?a），点F（1?b，b）
（2）S?EOF?S矩形MONP?S?EMO?S?FNO?S?EPF ＝ab?111a(1?a)?b(1?b)?(a?b?1)2 222资料来源于网络 仅供免费交流使用