?un?1?n收敛.
?un?1vn?1?55.设?un和?vn为正项级数,且对一切n?1,成立.级数?vn收敛.证明级uvnnn?1n?1n?1???数
?un?1n也收敛.
56.设正项级数
?un?1?n收敛.证明级数
?un?1?2n也收敛.试问反之是否成立?
57.设an?0,n?1,2,L,且?nan?有界,证明级数
???an?1?2n收敛.
58.设级数
?a收敛.证明级数?2nn?1an(an?0)也收敛. nn?1??an?k?0,且级数?bn绝对收敛,证明级数?an也收敛. 若上述条件中只知59.若limn??bnn?1n?1??道级数
?bn?1n收敛,能推得级数
?an?1n也收敛吗?
60.设an?0,证明级数61. Sn(x)?an收敛. ?1?a1?aL1?a??????n?112n???????x. 证明在( ?? , ?? )内Sn(x)1?n2x20, ( n?? ).
n62. 设数列{an}单调收敛于零.试证明:级数
?acosnx在区间[ ? , 2??? ]
(0????)上一致收敛.
63. 几何级数
?xn?0?n 在区间[?a , a ](0?a?1)上一致收敛；但在(?1 , 1 )内非一致收敛.
64. 设数列{an}单调收敛于零 . 证明 : 级数
?ancosnx 在区间[ ? , 2??? ]
(0????)上一致收敛.
65. 证明级数
?xn?1?(?1 )n?12?n在R内一致收敛 .
2nxn66. 证明函数f(x)??满足微分方程 y???y??2y?0, x?R.
n!n?0??sinx, x?0,?(n)67. 设f(x)??x 证明对? n , f(0)存在并求其值.
? x?0.?1 , ??xnxn2n?168. 证明：幂级数?的和函数为???ln(1?x), x?[ ?1 , 1 ).并求级数?nn?1nn?1nn?13n?(?1 )n?1和Leibniz级数?的和.
nn?1?69. 证明：幂级数
?nxn?1?n的和函数为
?nxn?1?n?x , |x| ?1.并利用该幂级数的和函2(1?x)?nx2n?1n?1数求幂级数?的和函数以及数项级数的和. ?nn?13n?1n?12?( ?1 )nx2n?170. 证明幂级数?的和函数为arctgx，并利用该幂级数的和函数求数项级数
2n?1n?0?( ?1 )n的和. ?n?02n?1?71. 设f(x)是以2?为周期的分段连续函数, 又 f(x)满足
f(x??)??f(x).
求证 f(x)的Fourier系数 满足a0?0,a2n?b2n?0,n?1,2,?.
72. 设f(x)是以2?为周期的分段连续函数, 又设 f(x)是偶函数，且满足
.
求证： f(x)的Fourier系数a2n?1?0,n?1,2,?.
73．求证函数系?sinx,sin2x,?,sinnx??是[0,?]上的正交函数系. 74．设f(x)是以为周期的连续的偶函数。又设f(x)关于x?叶系数：
.
75. 设f(x)是以2?为周期的可微周期函数，又设f?(x)连续，a0,an,bn(n?1,2,?)是
L对称，试证：f(x)的傅立2f(x)的Fourier系数.求证：
.
x?y不存在。
(x,y)?(0,0)x?yx?y77. 用极限定义证明： lim?0.
22(x,y)?(0,0)x?y76. 证明极限
limx2y278. 证明极限lim不存在.
(x,y)?(0,0)x2y2?(x?y)279. 设F(x,y)?f(x),f(x)在 x0连续，证明：对?y0?R,F(x,y)在(x0,y0)连续. 80. 证明：如果f(x,y)在 P0(x0,y0)连续，且f(x0,y0)?0，则对任意r?f(x0,y0),??(P0;?),对一切P(x,y)??(P0;?),有f(x,y)?r.
81. 证明：f(x,y)?82. 证明；
在(0,0)点连续，且fx(0,0)?0,fy(0,0)?0不存在. 83. 证明
x2?y2在点(0,0)处连续且偏导数不存在.
在 点(0,0)处连续且偏导数存在.
84. 设 函数f(x,y)在(x0,y0)的某邻域内存在偏导数，若(x,y)属于该邻域，则存在
??x0??1(x?x0)和 ??y0??2(y?y0)，0??1?1,0??2?1, 使得
。
85. 证明：
,
在点(0,0)不可微.
86. 证明: 对任意常数?,?, 球面x?y?z??与锥面x?y?tan??z是正交的.
87. 证明: 以?为参数的曲线族
22222222x2y2??1 (a?b) a??b??是相互正交的(当相交时).
88. 证明: 由方程z?y?x?(z)所确定的隐函数z?z(x,y)满足
?2z??2?z????(z)?, 2?x?y??y?其中?二阶可导. 89. 设F(a)???0ln?1?2acosx?a2?dx, 证明
??0, 若a?1且a?0,F(a)?? 2???lna, 若a?1.90. 证明含参量反常积分
???0sinxydy y在??,???上一致收敛其中?＞0，但在?0,+??内不一致收敛。
??91. 证明含参量a的反常积分
???0e?axcosxdx, a?0,p?0为常数 xp是一致收敛的.
92. 证明含参量p的反常积分
?是一致收敛的.
??0sinx2dx, p?0 p1?x93. 若f(x)在(0,??)内可积, 证明
a?0lim??e?axf(x)dx??0????0f(x)dx.
94.证明( 2xcosy?ycosx )dx?( 2ysinx?xsiny )dy在整个XY平面上是某个函数 的全微分, 并找出这样一个原函数.
95.设一力场为 F ?( 3xy?8xy )i +( x?8xy?12ye )j . 证明质点在此力场内移 动时, 场力所作的功与路径无关. 96.证明
22222x?y?z?aydx?zdy?xdz??3?a, 其中L是球面 与平面 ?? L2232y22x?y?z?0的交线 ( 它是圆周 ) , 从X轴的正向看去, 此圆周呈逆时针方向.
97.证明
22x?y?1与平面 z?y?3的交3zdx?5xdy?2ydz?2?, 其中L是圆柱面?? L线(它是椭圆 ) , 从X轴的正向看去, 此椭圆周呈逆时针方向. 98.证明
? L(y?z)dx?(z?x)dy?(x?y)dz=?2a( h?a )?,其中L是圆柱面
xz??1(a?0 , h?0 )的交线( 它是椭圆 ) , 从X轴的正向看ahx2?y2?a2与平面
去 , 此椭圆周呈逆时针方向.
99.证明：若f(x,y)为有界闭区域D上的非负连续函数，且在D上不恒为零，则
??f(x,y)d??0.
D100.证明二重积分
??Df(xy)dxdy=ln2??21f(x)dx，其中D?{(x,y)|1?y?4, 1?xy?2}. x101.设f?x?是?a,b?上的正值连续,D?D?0?x?a,0?y?a?,则
??Df?x?2dxdy??b?a?. f?y?102.设f?x,y?在y?a,x?b,y?x?a?b?所围区域D上连续,则
? b adx?f?x,y?dy??dy?f?x,y?dx.
a a y222x?y?z??dxdydz????V x b b103.证明
12?2?R5,其中V由z2?x2?y2， 5??x2?y2?z2?R2?z?0?所围成的有界闭区域.
104.证明105.证明的边界. 106.证明
?????? ?(x?y?z)dS???a3,其中?是左半球面x2?y2?z2?a2,y?0。 (x2?y2)dS=
?2 ?( 2?1 ), 其中?是区域 { (x,y,z)|x2?y2?z?1 } ?(xy?yz?zx)dS?6424a, ?是锥面z?x2?y2被柱面15x2?y2?2ax所截部分.
107.证明
?? ?(x?y)dydz?(y?z)dzdx?(z?x)dxdy?24h3, 其中?是中心在原点 , 边
长为2h的立方体 [ ?h , h ]?[ ?h , h ]?[ ?h , h ]的边界.
x2y2z22108.证明??yzdzdx=abc?, 其中?是椭球面2?2?2?1的上半部分 , 积分沿
?3abc外侧.