2019-2020年中考数学二轮复习-代数几何综合题（附答案）
Ⅰ、综合问题精讲：
代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析
【例1】（温州，12分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是BDC的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线分别交于点F、E，且BF?AD，EM切⊙O于M。 1
⑴ △ADC∽△EBA;⑵ AC2＝ BC·CE；
2⑶如果AB＝2，EM＝3，求cot∠CAD的值。 解:⑴∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵BF?AD，∴∠DCA＝∠BAE， ∴△CAD∽△AEB
⑵ 过A作AH⊥BC于H(如图)
1
∵A是BDC中点，∴HC＝HB＝ BC，
2102
∵∠CAE＝90，∴AC＝CH·CE＝ BC·CE
2⑶∵A是BDC中点，AB＝2，∴AC＝AB＝2， ∵EM是⊙O的切线，∴EB·EC＝EM ① 12
∵AC＝ BC·CE，BC·CE＝8 ②
2①＋②得：EC(EB＋BC)＝17，∴EC＝17 ∵EC＝AC＋AE，∴AE＝17－2＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， AE13
∴cot∠CAD＝cot∠AEC＝＝ AC2
点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的非常突出．如，
2
2
2
22
2
将∠CAD转化为∠AEC就非常关键.
【例2】（自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90。过C作CD⊥x轴，D为垂足．
（1）求点 A、B的坐标和AD的长； （2）求过B、A、C三点的抛物线的解析式。 解：（1）在y=2x+2中 分别令x=0，y=0．
得 A（l，0），B（0，2）． 易得△ACD≌△BAO，所以 AD=OB=2．
（2）因为A(1，0），B（0，2），且由（1），得C（3,l）． 设过过B、A、C三点的抛物线为y?ax2?bx?c
5?a??6?a?b?c?0?17? 所以?c?2 ，解得?b?? ?6?9a?3b?c?1???c?2??○
所以y?5217x?x?2 66 点拨：此题的关键是证明△ACD≌△BAO．
【例3】（重庆，10分）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒． (1) 求直线AB的解析式；(2) 当t为何值时，△APQ与△AOB相似？ (3) 当t为何值时，△APQ的面积为5个平方单位？
解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx＋b
24由题意，得?3??b=6k?? 解得?4??8k?b?0??b?6所以，直线AB的解析式为y＝－
3x＋6． 4（2）由AO＝6， BO＝8 得AB＝10 所以AP＝t ，AQ＝10－2t
1° 当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB．
3010?2t所以 t＝10 解得 t＝11(秒)
62° 当∠AQP＝∠AOB时，△AQP∽△AOB． 所以
t＝10?2t 解得
610t＝50(秒)
13（3）过点Q作QE垂直AO于点E． 在Rt△AOB中，Sin∠BAO＝BO＝4
AB5552在Rt△AEQ中，QE＝AQ·Sin∠BAO＝(10-2t)·4＝8 －8t所以，S△APQ＝1AP·QE＝
1t·(8－8t)
2542 ＝－5t＋4t＝24 解得t＝2（秒）或t＝3（秒）．
5（注：过点P作PE垂直AB于点E也可，并相应给分）
点拨：此题的关键是随着动点P的运动，△APQ的形状也在发生着变化，所以应分情况：①∠APQ＝∠AOB＝90②∠APQ＝∠ABO．这样，就得到了两个时间限制．同时第（3）问也可以过P作 PE⊥AB．
【例4】（南充，10分）如图2－5－7，矩形ABCD中，AB＝8，
○
BC＝6，对角线AC上有一个动点P（不包括点A和点C）．设