第2讲 排列与组合
[基础题组练]
1．(2020·河南开封一模)中国古代的五经是指：《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》；现甲、乙、丙、丁、戊5名同学各选一本书作为课外兴趣研读，若甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有( )
A．18种 C．36种
B．24种 D．54种
13
23
解析：选D.(1)若甲选《春秋》，则有C3A3＝18种情况；(2)若甲不选《春秋》，则有A3A3
＝36种情况．所以5名同学所有可能的选择有18＋36＝54种．故选D.
2．(2020·湖南长郡中学模拟)某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场做节目开场诗词，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有( )
A．72种 C．36种
B．48种 D．24种
解析：选C.根据题意，分2步分析：将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，共有A3＝6种排法，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一个空不排)，有A3＝6种排法，则后六场开场诗词的排法有6×6＝36种，故选C.
3．(2020·云南昆明模拟)现有6人坐成一排，任选其中3人相互调整座位(这3人中任何一人都不能坐回原来的位置)，其余3人座位不变，则不同的调整方案的种数有( )
A．30 C．60
B．40 D．90
3
2
3
解析：选B.根据题意，分2步进行分析：①从6人中选出3人，相互调整座位，有C6＝20种选法；②记选出相互调整座位的3人分别为A，B，C，则A有2种坐法，B，C只有1种坐法，A，B，C相互调整座位有2种情况．则不同的调整方案有20×2＝40种，故选B.
4．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )
A．192种 C．240种
B．216种 D．288种
5
解析：选B.第一类：甲在最左端，有A5＝5×4×3×2×1＝120种方法；第二类：乙在最左端，有4A4＝4×4×3×2×1＝96种方法．所以共有120＋96＝216种方法．
4
5．如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，则以O，A1，
A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为( )
A．30 C．54
B．42 D．56
3
解析：选B.间接法：先从这8个点中任取3个点，有C8种取法，再减去三点共线的情形即可，即C8－C5－C4＝42.
6．(2020·四川广安、眉山、内江、遂宁一诊)某地环保部门召集6家企业的负责人参加座谈会，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为( )
A．15 C．35
B．30 D．42
3
3
3
解析：选B.根据题意，分两类情况讨论：选出的3人中没有人来自甲企业，在其他5个企业中任选3个即可，有C5＝10种情况；选出的3人中有人来自甲企业，则甲企业只能有1人参与，在其他5个企业中任选2个即可，有2×C5＝20种情况．则不同的情况共有10＋20＝30种，故选B.
7．(2020·河南南阳模拟)把四个不同的小球放入三个分别标有1～3号的盒子中 ，不允许有空盒子的放法有( )
A．12种 C．36种
B．24种 D．48种
2
3
解析：选C.根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1～3号的盒子中， 且没有空盒，三个盒子中有1个盒子中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个球，则分2步进行分析：①先将四个不同的小球分成3组，有C4＝6种分组方法；②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有A3＝6种放法．则不允许有空盒子的放法有6×6＝36种．
8．(2020·陕西汉中调研)某中学元旦晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在节目乙的前面，节目丙不能排在最后一位，则该晚会节目演出顺序的编排方案共有( )
A．720种 C．300种
B．360种 D．600种
5
3
2
A5
解析：选C.先安排好除节目丙之外的5个节目，有2＝60种可能，再安排节目丙，有5
A2
种可能，共60×5＝300种方案．故选C.
9．(一题多解)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有( )
A．120种 C．188种
B．156种 D．240种
解析：选A.法一：记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法分别为A2A3，A2A3，C2A2A3，C3A2A3，C3A2A3，故总编排方案有A2A3＋A2A3＋C2A2A3＋C3A2A3＋C3A2A3＝120(种)．
法二：记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有C4A2A3＝48种；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C3A2A3＝36种；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有C3A2A3＝36种．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)．
10．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有( )
A．250个 C．48个
B．249个 D．24个
3
123
123
123
23
23
23
123
123
123
23
23
123
123
1
解析：选C.①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A4＝24(个)；②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A4＝24(个)．由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)，故选C.
11．某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( )
A．18种 C．36种
B．24种 D．48种
3
解析：选C.若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A2A3＝12种；若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A2A3＝12种；若甲、乙抢的是一个8元和一个10元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A2C3＝6种；若甲、乙抢的是两个6元的红包，剩下2个红包，被剩下的3人中的2个人抢走，有A3＝6种，根据分类加法计数原理可得，共有36种情况，故选C.
12．某密码锁共设四个数位，每个数位的数字都可以是1，2，3，4中的任一个．现密码破译者得知；甲所设的四个数字有且仅有三个相同；乙所设的四个数字有两个相同，另两个也相同；丙所设的四个数字有且仅有两个相同；丁所设的四个数字互不相同．则上述四人所设密码最安全的是( )
2
22
22
22
A．甲 C．丙
B．乙 D．丁
22
311443
C4A4
解析：选C.甲所设密码共有CCC＝48种不同设法，乙所设密码共有＝36种不同设
2！法，丙所设密码共有C4C4A3＝144种不同设法，丁所设密码共有A4＝24种不同设法，所以丙最安全，故选C.
13．(2020·黑龙江哈尔滨三中期末)有3名男演员和2名女演员，演出的出场顺序要求2名女演员之间恰有1名男演员，则不同的出场顺序共________种．
解析：有3名男演员和2名女演员，演出的出场顺序要求2名女演员之间恰有1名男演员，则先排2名女演员，有A2种方法，然后插入1名男演员，有A3种方法，再把这3个人当作一个整体，和其他2名男演员进行排列，有A3种方法．再根据分步乘法计数原理，可得不同的出场顺序有A2·A3·A3＝36种．
答案：36
14．从某校4个班级的学生中选出7名学生参加进博会志愿者服务，若每个班级至少有一名代表，则各班级的代表数有________种不同的选法．(用数字作答)
解析：由题意，从4个班级的学生中选出7名学生代表，每一个班级中至少有一名代表，相当于7个球排成一排，然后插3块隔板把他们分成4份，即中间6个空位中选3个插板，分成四份，共有C6＝20种不同的选法．
答案：20
15．(2020·江西上饶联考)某共享汽车停放点的停车位成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，则该停车点的车位数为________．
解析：设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻：相当于先将(n－3)个停车位排放好，再将这3辆共享汽车，插入到所成的(n－2)个间隔中，故有An－2种．恰有2辆共享汽车相邻，可先把其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素，再和另一辆插入到将(n－3)个停车位排好所成的(n－2)个间隔中，故有A3An－2种．因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等，所以An－2＝A3An－2，解得n＝10.
答案：10
16．(2020·浙江嘉兴一中、湖州中学联考)用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成________个无重复数字的三位数，也可以组成________个能被5整除且无重复数字的五位数．
解析：第一个空：第一步，先确定三位数的最高数位上的数，有C5＝5种方法；第二步，确定另外两个数位上的数，有A5＝5×4＝20种方法，所以可以组成5×20＝100个无重复数字的三位数．
2
1
3
22
22
3
32
1
3
3
2
1
212
4
第二个空：被5整除且无重复数字的五位数的个位数上的数有2种情况：当个位数上的数字是0时，其他数位上的数有A5＝5×4×3×2＝120种；当个位数上的数字是5时，先确定最高数位上的数，有C4＝4种方法，而后确定其他三个数位上的数有A4＝4×3×2＝24种方法，所以共有24×4＝96个数．根据分类加法计算原理，可得共有120＋96＝216个数．
答案：100 216
[综合题组练]
1．(2020·江西临川一中等九校联考)已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的．现用编号为1，2，3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为( )
A．12 C．36
B．24 D．48
1
3
4
解析：选D.设6种产品分别为a，b，c，d，e，f，如图，根据题意，安全的分组方法有{ab，cf，de}，{ab，cd，ef}，{ac，be，df}，{ac，bf，de}，{ad，ef，bc}，{ad，eb，
cf}，{ae，dc，bf}，{ae，df，bc}，共8种，每一种分组安排到3个仓库，有A33种方法，
故总的方法有8×A3＝48种．故选D.
2．将标号为1，2，3，4，5，6的6个小球放入3个不同的盒子中．若每个盒子放2个，其中标号为1，2的小球放入同一盒子中，则不同的方法共有( )
A．12种 C．18种
B．16种 D．36种
3
解析：选C.先将标号为1，2的小球放入盒子，有3种情况；再将剩下的4个球平均放C4·C22
入剩下的2个盒子中，共有·A2＝6种情况，所以不同的方法共有3×6＝18(种)．
2！
3．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有________对．
解析：如图．它们的棱是原正方体的12条面对角线．
一个正四面体中两条棱成60°角的有(C6－3)对，两个正四面体有(C6－3)×2对．又正方体的面对角线中平行成对，所以共有(C6－3)×2×2＝48(对)．
2
2
2
2
2