1.41一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（基础）
【学习目标】
1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围； 2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.
【要点梳理】
知识点一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)中，b2?4ac叫做一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的根的判别式，通常用“?”来表示，即??b2?4ac
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点诠释：
利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a,b.c的值；③计算b2?4ac的值；④根据b2?4ac的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程ax2?bx?c?0?a?0?中，
（1）方程有两个不相等的实数根?b2?4ac﹥0； （2）方程有两个相等的实数根?b2?4ac=0；
（3）方程没有实数根?b2?4ac﹤0.
要点诠释：
（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 b2?4ac≥0. 知识点二、一元二次方程的根与系数的关系
1.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1，x2， 那么x1?x2??ba，xc1x2?a. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得
的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
2.一元二次方程的根与系数的关系的应用
(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：
①x221?x2?(x1?x2)2?2x1x2；
②
1x?1x1?x2x?； 12x1x2③x21x2?x21x2?x1x2(x1?x2)；
④x2?x22x1x12(x1?x2)2?2x1x?x?x?x2； 12x12x1x2⑤(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2；
⑥(x1?k)(x2?k)?x1x2?k(x1?x2)?k2； ⑦|x1?x2|?(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2；
11x22⑧1?x2(x1?x22)?2x1x2x2?2?22?2； 1x2x1x2(x1x2)⑨x21?x2??(x1?x2)??(x21?x2)?4x1x2；
⑩|x1|?|x2|?(|x?|x2x221|2|)?1?x2+2|x1x2|?(x1?x2)2?2x1x2?2|x1x2|．
(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数
为根的一元二次方程是
.
(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两根为x1、x2，则 ①当△≥0且x1x2?0时，两根同号．
当△≥0且x1x2?0，x1?x2?0时，两根同为正数； 当△≥0且x1x2?0，x1?x2?0时，两根同为负数． ②当△＞0且x1x2?0时，两根异号．
当△＞0且x1x2?0，x1?x2?0时，两根异号且正根的绝对值较大；
当△＞0且x1x2?0，x1?x2?0时，两根异号且负根的绝对值较大．
要点诠释：
（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的?．一些考试中，往往利用这
2由此方程有两个不相等的实数根知b?4ac?0，即k??1，
综上可知k??1且k?0．
【点评】不能忽略二次项系数不为0这一条件. 举一反三：
2
【变式】m为任意实数，试说明关于x的方程x-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.
一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根a?b，则必有一根a?b（a，b为有理数）．
【典型例题】
类型一、一元二次方程根的判别式的应用
1．不解方程，判断下列方程的根的情况： (1) 2x2
+3x-4=0 (2)ax2
+bx=0(a≠0) 【答案与解析】
(1) 2x2+3x-4=0 a=2, b=3, c=-4,
∵Δ=b2
-4ac=32
-4×2×(-4)=41>0 ∴方程有两个不相等的实数根.
(2)∵a≠0, ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，
将常数项视为零，
∵Δ=(-b)2
-4·a·0=b2
,
∵无论b取任何关数，b2
均为非负数， ∴Δ≥0， 故方程有两个实数根. 【点评】根据b2?4ac的符号判定方程根的情况. 举一反三：
【变式】不解方程，判别方程根的情况：x2?ax?a2?1?0 .
【答案】无实根.
2．若关于x的一元二次方程kx2?2x?1?0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（A．k??1 B．k??1且k?0 C．k?1 D．k?1且k?0
【思路点拨】
此题要考虑两方面：判别式要大于0，,二次项系数不等于0. 【答案】 B；
【解析】 由关于x的一元二次方程kx2?2x?1?0知k?0，
．
【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m2+10m+37=(m+5)2
+12＞0，
∴关于x的方程x2
-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.
类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用
3．已知方程5x2?kx?6?0的一个根是2，求另一个根及k的值． 【思路点拨】
根据方程解的意义，将x＝2代入原方程，可求k的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根．【答案与解析】
方法一：设方程另外一个根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系，
得x1?2??k635，2x1??5，从而解得：x1??5，k＝-7． 方法二：将x＝2代入方程，得5×22+2k-6＝0，从而k＝-7．
设另外一根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系，
得x71?2?5，从而x?31?5， 故方程的另一根为?35，k的值为-7．
【点评】根据一元二次方程根与系数的关系xbc1?x2??a，x1x2?a易得另一根及k的值． 举一反三：
【变式】已知方程x2?2x?c?0的一个根是3，求它的另一根及c的值．
【答案】另一根为-1；c的值为-3．
4．求作一个一元二次方程，使它的两根分别是?313，212．
【答案与解析】
解法一：因为x11?x2??3?21532??6， xx????31?3???212??2512?3，
所以所求方程为x2?56x?253?0，即6x2?5x?50?0． 解法二：所求方程为??x?31????x?21???0，即6x2?3??2??5x?50?0．
）【点评】根据一元二次方程的根与系数的关系可知，只需求出x1+x2和xl-x2的值即可． 【巩固练习】
一、选择题
1. 下列方程，有实数根的是( )
A．2x2
+x+1＝0 B．x2
+3x+21＝0 C．x2
-0.1x-1＝0 D．x2?22x?3?0
2．一元二次方程ax2?bc?c?0(a?0)有两个不相等的实数根，则b2?4ac满足的条件是（ ）
A．b2?4ac?0 B．b2?4ac?0 C．b2?4ac?0 D．b2?4ac?0
3．关于x的一元二次方程x2?6x?2k?0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k?92 B．k?9992 C．k?2 D．k?2
4．关于方程x2?2x?3?0的两根x1,x2的说法正确的是（ ）
A. x1?x2?2 B.x1?x2??3 C. x1?x2??2 D.无实数根 5．关于x的一元二次方程x2
+4x+k=0有实数解，则k的取值范围是（ ） A.k≥4 B.k≤4 C.k＞4 D.k=4
6．一元二次方程2x2?6x?3?0的两根为?、?，则(???)2的值为（ ）． A．3 B．6 C．18 D．24
二、填空题
7．已知关于x的方程x2
-2x+k＝0有实数根，则k的取值范围是________．
8．已知3x2
-2x-1=0的二根为x，x=______，1112，则x1+x2=______，x1x2x?x???_______，?
12 x22
1+x2=_______，x1-x2=________．
9．若方程的两根是x1、x2，则代数式的值是 。
10．设一元二次方程x2?3x?2?0的两根分别为x221、x2，以x1、x2为根的一元二次方程是________．
11．已知一元二次方程x2
-6x+5-k=0?的根的判别式△=4，则这个方程的根为_____ __．
12．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数为__ _．
三、解答题
13．当k为何值时，关于x的方程x2-(2k-1)x＝-k2
+2k+3， (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根?
14. 已知a，b，c是△ABC的三边长，且方程(a2+b2)x2
-2cx+1＝0有两个相等的实数根．
请你判断△ABC的形状．
15．已知： xx的方程x2＋（2a－1）x＋a2
1、x2是关于＝0的两个实数根且（x1＋2）（x2＋2）＝11，
求a的值.
【答案与解析】 一、选择题
1.【答案】C；
【解析】由根的判别式判定． 2.【答案】B；
【解析】ax2?bx?c?0(a≠0)有两个不相等实数根?b2?4ac?0． 3.【答案】B；
【解析】 (-6)2
-4×1×2k＞0．解得k?92． 4.【答案】D；
【解析】求得Δ=b2
-4ac=-8＜0，此无实数根，故选D. 5.【答案】B；
【解析】∵关于x的一元二次方程x2
+4x+k=0有实数解，
∴b2﹣4ac=42
﹣4×1×k≥0， 解得：k≤4，故选B．
6.【答案】A；
【解析】由一元二次方程根与系数的关系得：????3，???32， 因此(???)2?(???)2?4???9?6?3．
二、填空题 7．【答案】k≤1；
【解析】由题意可知△＝(?2)2?4?1k≥0，-4k≥-4，所以k≤1． 8．【答案】
； -； -2；
； ±
；
【解析】x1+x2=，x1x2=-，+==-2，
x12+x22=(x1+x2)2
-2x1x2=+=， ∵(x1-x2)2=(x1+x2)2
-4x1x2=
+
=
，
∴x1-x2=±.
9．【答案】6；