小学+初中+高中+努力=大学
专题限时训练(十七) 圆锥曲线中的热点问题
(时间：45分钟 分数：80分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )
A．1 B.2 C．2 D．22 答案：D
x2y2
解析：设椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为
ab椭圆短轴端点，
1b＋ca所以S＝×2c×b＝bc＝1≤＝，
222所以a≥2，所以a≥2， 所以长轴长2a≥22.故选D.
2．经过椭圆＋＝1的右焦点任意作弦AB，过A作直线x＝4的垂线AM，垂足为M，
43则直线BM必经过定点( )
A．(2,0) C．(3,0) 答案：B
解析：依题意，选取过椭圆＋＝1的右焦点且垂直于x轴的弦AB，则A，B的坐标分
433??3???3?别为?1，?，?1，－?，所以过点A作直线x＝4的垂线，垂足为M?4，?， 2??2???2?
5
所以直线BM的方程为y＝x－，
2
2
2
2
2
x2y2
?5?B.?，0? ?2??7?D.?，0? ?2?
x2y2
?5?由于所给选项均为x轴上的点，而直线BM与x轴的交点为?，0?.故选B. ?2?
x2y2
3．如图，已知点B是椭圆2＋2＝1(a>b>0)的短轴位于x轴下方的端点，过B作斜率为
ab→→
1的直线交椭圆于点M，点P在y轴上，且PM∥x轴，BP·BM＝9，若点P的坐标为(0，t)，则t的取值范围是( )
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A.(0,3)
B．(0,3]
?3?C.?0，? ?2?
答案：C
?3?D.?0，? ?2?
解析：因为P(0，t)，B(0，－b)，所以M(t＋b，t)． →→
所以BP＝(0，t＋b)，BM＝(t＋b，t＋b)． →→2
因为BP·BM＝9，所以(t＋b)＝9，t＋b＝3. 因为0 所以0 2 y2x2 4．(2015·杭州模拟)已知抛物线y＝8x的焦点F到双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)渐 ab2 452 近线的距离为，点P是抛物线y＝8x上的一动点，P到双曲线C的焦点F1(0，c)的距离 5与到直线x＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为( ) A.－＝1 23C.－x＝1 4答案：C 解析：由题意得，抛物线y＝8x的焦点F(2,0)， 2 y2x2y2 B．y－＝1 4D.－＝1 32 2 x2 2 y2x2 y2x2 双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程为ax－by＝0， aby2x245 ∵抛物线y＝8x的焦点F到双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)渐近线的距离为， ab5 2 ∴ 45 ＝，∴a＝2b. 5a2＋b2 2a∵P到双曲线C的上焦点F1(0，c)的距离与到直线x＝－2的距离之和的最小值为3， 小学+初中+高中+努力=大学 小学+初中+高中+努力=大学 ∴|FF1|＝3，∴c＋4＝9，∴c＝5， ∵c＝a＋b，a＝2b，∴a＝2，b＝1. ∴双曲线的方程为－x＝1.故选C. 4 2 2 2 2 y2 2 x2y2 5．已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，若双曲线 ab上存在点P满足 ＝，则该双曲线的离心率的取值范围为( ) sin∠PF1F2sin∠PF2F1 B．(1，3) D．(2＋1，＋∞) acA．(1，2＋1) C．(3，＋∞) 答案：A |PF2||PF1| 解析：根据正弦定理得＝， sin∠PF1F2sin∠PF2F1所以由即 ＝，可得＝， sin∠PF1F2sin∠PF2F1|PF2||PF1| acac|PF1|c＝＝e，所以|PF1|＝e|PF2|. |PF2|a因为e>1，所以|PF1|>|PF2|，点P在双曲线的右支上． |PF1|－|PF2|＝e|PF2|－|PF2|＝|PF2||e－1|＝2a. 解得|PF2|＝所以 2a，因为|PF2|>c－a， e－1 2a2>c－a，即>e－1， e－1e－1 2 即(e－1)<2，解得1－2 6．(2015·沈阳二模)已知抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，111→→→ 且满足FA＋FB＋FC＝0，则＋＋＝________. 2 kABkBCkCA答案：0 ??解析：F?，0?，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， ?2? →→→ 由FA＋FB＋FC＝0知， p?x1－p，y1?＋?x2－p，y2?＋?x3－ p，y3?＝(0,0)， ??????222?????? 故y1＋y2＋y3＝0， 小学+初中+高中+努力=大学