习题7
7-1．原长为0.5m的弹簧，上端固定，下端挂一质量为0.1kg的物体，当物体静止时，弹簧长为0.6m．现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g取9.8）
解：振动方程：x?Acos(?t??)，在本题中，kx?mg，所以k?9.8； ∴ ??k9.8??98。 m0.1取竖直向下为x正向，弹簧伸长为0.1m时为物体的平衡位置，所以如果使弹
簧的初状态为原长，那么：A=0.1m，
当t=0时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为π。
所以：x?0.1cos 即：x??0.1cos(98t)。 （98t??）
7-2．有一单摆，摆长l?1.0m，小球质量m?10g，t?0时，小球正好经过
???0.06rad处，并以角速度??0.2rad/s向平衡位置运动。设小球的运动可看
作简谐振动，试求：（1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式写出小球的振动式。（g取9.8）
解：振动方程：x?Acos(?t??) 我们只要按照题意找到对应的各项就行了。 （1）角频率：??g?9.8?3.13rad/s， l1g9.8??0.5Hz ， 频率：??2?l2?周期：T?2?l2???2s； g9.8??Acos（3.13t??），（2）振动方程可表示为：∴???3.13Asin（3.13t??）
?0(1，象限）2??根据初始条件，t?0时：cos??，sin???
A?0(3，象限）43.13A可解得：，A?8.8?10rad,?2??2270?3.95rad?-2.32
?2所以得到振动方程： ??8.8?10cos(3.13t?2.32)rad。
7-3. 一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在弹簧原长处托住，然后放手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置是初始位置下方10.0cm处，求：（1）振动频率；（2）物体在初始位置下方8.0cm处的速度大小。 解：（1）由题知2A=10cm，所以A=0.05m，选弹簧原长下方0.05m处为平衡位置；
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由kx0?mg，知振动频率：??kkg9.8，∴ ???196???196?14，
mx05?10?2m
7-4．一质点沿x轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。当t?0时，位移为6cm，且向x轴正方向运动。求：（1）振动表达式；（2）t?0.5s时，质点的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于x??6cm，且向x轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。 解：（1）由题已知 A=0.12m，T=2 s ，∴ ??k7?(Hz)； m?（2）物体在初始位置下方8.0cm处，对应着是x=0.03m的位置，所以：
x34cos???，由cos2??sin2??1，有：sin???，
A55v4而sin???，那么速度的大小为：v?A??0.56m/s 。
A?512?2??? T又∵t=0时，x0?6cm，v0?0，由旋转矢量图，可知：????3
（?t?故振动方程为：x?0.12cos （2）将t=0.5 s代入得：
?3）m；
x?0.12cos（?t?）?0.12cos?0.104m，
36v??0.12?sin（?t?）?0.12cos??0.188m/s， 36? ??3222a??0.12?cos（?t?）??0.12?cos??1.03m/s， 36方向指向坐标原点，即沿x轴负向； （3）由题知，某时刻质点位于x??6cm??????P?A， 2???t?， 2?TA2xQ且向x轴负方向运动，如图示，质点从P位置回到 平衡位置Q处需要走????3??2，建立比例式：
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有：?t?5s 。 67-5．两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在 x1?A/2处，且向左运动时，另一个质点2在 x2??A/2 处，且向右运动。求这两个质点的位相差。
解：由旋转矢量图可知：
当质点1在 x1?A/2处，且向左运动时， 相位为
?， 34?。 3而质点2在 x2??A/2 处，且向右运动， 相位为
所以它们的相位差为?。
7-6. 质量为m的密度计，放在密度为?的液体中。已知密度计圆管的直径为d。试证明，密度计推动后，在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期。
解：平衡位置：当F浮?G时，平衡点为C处。设此时进入水中的
深度为a：?gSa?mg
可知浸入水中为a处为平衡位置。
以水面作为坐标原点O，以向上为x轴，质心的位置为x，分析受力：不管它处在什么位置，其浸没水中的部分都可以用a?x来表示，所以力
d2xF??g(a?x)S??gaS???gSx，利用牛顿定律：F?m2，
dt?gS?g?d2d2x22?再令：??，可得：2??x?0，可见它是一个简谐振动； m4mdt2?4?m周期为：T? 。 ??d?g
7-7．证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为：??12?k1k2。
(k1?k2)m3 / 11