武汉理工大学有限元分析基础教案
材料力学中梁的平面假定。它确保与中面平行的的各面之间不存在剪应变。?zx??zy?0 2，变形前后，板的厚度不变，即?z?0。板内各点的挠度值仅为x、y的函数，而与z轴无关。w?w?x,y?。
3，薄板中面内的各点没有平行于板面的位移?u?z?0?0、?v?z?0?0，只有z方向的位移。 4，平行于中面的各层之间互不挤压。?z?0
三，基本方程
利用空间的三大方程和以上4个假定，我们可以推求出适用薄板的基本方程。 1，几何方程
1，?由假定○zx??v?w?u?w??0，就有： ??0，?zy??z?y?z?x?w?u?w?v??，，积分可得： ???y?z?x?zu??zv??z?w?f1?x,y? ?x?w?f2?x,y? ?y3，?u?再由假定○z?0?0、?v?z?0?0，就是中面上各点没有板面的位移，
代入上式，可得f1?x,y??f2?x,y??0 所以u??z?w?w，v??z。由于w仅是x、y的函数，所以属于二维问题。
?y?x?u?v?2w?u?2w?v?2w???2z?x???z2，?y? ??z2，?xy??y?x?x?y?x?x?x?y?2w?2w以上公式就是板的应变与挠度之间的几何方程。2、2分别代表薄板的弹性曲面在x、
?x?y?2wy方向上的曲率。记为χx、χy。?代表在x、y方向上的扭率，记为χxy。三者完全
?x?y描述出了板的形变状态。（χ读作psi） 用矩阵记忆上述公式：
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??2w???2???x???x?2???w????????y????2? ????z???
?????y??xy???2w????x?y???2，物理方程
由于?z?0，与平面应力相似，
?x?E??x???y? 21??E??y???x?
1??2?y??xy?E?xy
2?1???以上方程的矩阵表达形式为：
??x?E?????y?2???1???xy???1????0???0???x???10???y? 简记为：?????D????
1????????xy?02?
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???z?D???? 代入几何方程，?从{σ}的计算公式可以看到，应力都是沿z轴直线分布。所以这些应力分量将构成相应的
Mx、My和Mxy
Mx?????1212xdz?1?z???xzdz， My??121212????1212ydz?1?z???yzdz
?1212Mxy?????1212xydz?1?z???xyzdz
?1211?Mx?22t3??22?M???My???D?????zdz，?zdz?
1211?M???22?xy??M???Df????
?D?ft3Et3??D??12121??2????1????0???0?10?
1????02?????z?M?12 3t3，虚功方程
运用我们上面推出的关系，可以将前面的虚功方程转换为薄板的应用形式：
????F????????M?dxdy
*T*T§5.2 薄板矩形单元的位移模式
一，节点力和节点位移
?F?e??Wi???e??wiMxi?xi?yiMyiWjwjMxjMyjWmMxmMymWpMxpMyp?T?xj?yjwm?xm?ymTwp?xp?yp
?转角位移的度量，可以参照梁单元的情况，有?x??w?w，?y?? ?y?x二，位移模式
由于共有12个位移分量，所以可以有12个待定系数，取二次多项式如下：
??a11xy?a12xy3w?a1??a2x?a3y???a4x2?a5xy?a6y2???a7x3?a8x2y?a9xy2?a10y3?3?以上位移
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模式中没有选取x4、y4，是因为它们比x3y和xy3所得的位移边界挠度函数更高一次，因而更难以使相邻单元满足位移连续条件（后面讲解）。
?x??w?a3?a5x?2a6y?a8x2?2a9xy?3a10y2?a11x3?3a12xy2 ?y?y???w??a2?2a4x?a5y?3a7x2?2a8xy?a9y2?3a11x2y?a12y2 ?x将节点i、j、m、p的局部坐标代入，可以得到12个独立方程，解出整理得：
w?Niwi?Nxi?xi?Nyi?yi?Njwj?Nxj?xj?Nyj?yj?Nmwm?Nxm?xm?Nym?ym?Npwp?Nxp?xp?Nyp?yp其中：Nr?
1?x??y??x?x?y?y??????????1?1?2?1??1??? ????????8?xr??yr??xr?xr?yr?yr??2Nxr1?x??y??y????????yr?1?1?1?????? xr、yr为节点的局部坐标 8?xyyr??r??r??武汉理工大学教务处制 79
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Nyr1?x??y??x???????xr?1?1?1? r=i、j、m、p循环 ?????8?xr??yr??xr??2位移模式收敛性分析：
1）w=a1表明单元内任意一点的挠度是a1，刚体处于移动状态。 w?a2x,?y???w??a2 表明刚体绕y轴旋转a2。 ?xw?a3x,?x??w?a3 表明刚体绕x轴旋转a3。 ?y2）二次项代表单元的常应变状态
??2w???2???x???x???2a4?2?w????????????y????2????2a6? —— ????z???
?????y???2a?2xy5?????w?????x?y???当z=0时，上式就是中面的应变。
3）位移模式能保证相邻单元在公共边界上挠度的连续性。 在ij边界上，y=-b，则有：
w?c1?c2x?c3x2?c4x3
四个待定系数，由两个端点的四个位移条件wi,wj,?yi,?yj决定。由于相邻单元都有两个公共节点，所以上述公式中的待定系数能够唯一定出。所以w在相邻单元能够保持连续。（上式同时也保证了切向位移的连续，为什么？）。 4）不能保证相邻单元公共边界上的法向转角连续。
?x?d1?d2x?d3x2?d4x3
未利用的位移条件只有θxi、θxj，不能完全确定以上四个待定系数。 综合以上分析得出：位移模式满足收敛性的必要条件，充分条件只能部分满足，这种情况下，单元逐渐细分，仍能保证收敛于精确解。由于该单元位移模式不能满足单元位移的连续性，所以该单元只是完备单元，而不是协调单元。即是非协调单元。
§5.3 板的单元刚度矩阵
将位移插值函数代入前面推出的几何方程，即得节点位移表示的变形表达式：
???e??B????e
式中的应变矩阵?B??Bi?BjBmBp，其中：
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