武汉理工大学有限元分析基础教案
??2Nr?2x??2?Nr?Br??????y2?2??Nr??x?y??2Nxr?x2?2Nxr?y2?2Nxr?x?y?2Nyr???x2??2Nyr? r=i、j、m、p 2??y??2Nyr??x?y???x??y??????1?3?1??????xyr??r????将物理
0??2?x??x???????1???1?3??yr?xr??xr????2xr将前求得的形函数公式代入，可得：
?6x?y????1??2??xyxr?r?r?1?6y?x????Br???1??8?yryr?xr??2?2?xy2????4?3x2?3y2xy?rr?rr?方程代入：
0?????2?x??y?????1?1?3???yr?xr??yr??2?y??y?????1?1?3???xr?yr??yr???M???Df??B????e??S????e
1Et3?Sr??8121??2??将
?6y?y?y??x?6y?x?2?x??2?x?????????????1???1???1?1?31?3?1??2??2?????????????xyyyxxyxxyxxrr?r?rr?r?r??r?r?r??r????r?6y?y?y??x?6y?x?2?x??2?x?????????????1??1??1?1?3?1?3?1???2??2???y2ry??????????xyxxyxxyxyrr?r?r?r?r??r?r?r??r????r22?y?y??y?1???x1???1???x??x????????1?y????1?3y???y??1?x????1?3x????4?3x2?3y2?xyx??rr?rr??r?r?r??r???rr??以上结论代入薄板弯曲的虚功方程得：
??k1??k2??k4????k5?k6?k10??k7??k9k8????k0???11??k12k15????k15k13???k0??16??k17?k20??k20k18??0??k21?????k3??k11?0??k9??k16?0??k14???k21?0??k19??????????其中： ????????????k3?????K?e?k1??kk?2?4???k5k6k3???k17?k21k21??k?k02018????k0k19??21?k12?k15?k16??k?k01513???0k14??k16??k1???k?k42????k?kk63??5?k7?k10?k11??k1?k???kk098???4?0k9??k11????k5k2k6b2a2k1?21?6??302?302
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k2?8b2?8?b2?40a2 k3?8a2?8?a2?40b2
?3b?12?b?30a2k4b
k?12?a?30b25?3aa
k6?30?ab
b2a2k7??21?6??30a2?15b2
k8??8b2?8?b2?20a2 k9??2a2?2?a2?20b2
ka210??3b?12?b?15b
k3a?3?a?30b211?a
?6??15b2a2k12?21a2?15b2
k13?2b2?2?b2?10a2
k14?2a2?2?a2?10b2
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?15b2k11??3a?3?aa
b2a2k17??21?6??15a2?30b2
k218??2b2?2?b?20a2
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k19??8a2?8?a2?20b2
k20a2?3b?3?b?30
bb2??3a?12?a?15
ak21§5.4 载荷的移置
薄板矩形单元各个节点上的节点载荷可用下式表示：
?R?e??ziTxiTyizjTxjTyjzmTxmTymzpTxpTyp
?T一，集中力的移置
理论基础：?R???N?P
eT当集中载荷P作用在单元中心时
?R?e?P???4PbPa?88eP4Pb8Pa8P4Pb?8Pa8P4PbPa? ??88??T二，分布横向载荷 理论基础：?R??T??Nqdxdy q为(x,y)处的集度，为常量时： ???R?ea?1b?4qab??12?4121ba412121ba1ba????? 41212121212?T§5.5 边界条件
薄板支承的三种边界情况：
1，固定边界
当薄板和支承梁是刚性联结时，且梁的刚性又非常强时，可以将板的边界视为固定边界。即在固定边界上的挠度、切向转角和法向转角均为零。
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公式表示：w?0 2，简支边界
当薄板和支承梁是铰接时，板的边界可看作简支，在简支边界上，挠度为零，法向的弯矩为零（不承受法向弯矩，可以自由转动）
公式表示：w?0 Mx?0或My?0
3，自由边界
板的边界不与其它构件或外界相连。 在自由边界上 M=0，Q=0 4，弹性支承当板与支承梁联结，支承梁的刚度不是横强，
其变形不能忽略时，此时最好将板与梁作为组合结构一起分析。这样梁的作用可以计入到结果中。
§5.6 例题分析
如图所示四边固定的方板，板长和宽为l，厚度为t，泊松比为0.3，承受均匀横向载荷q，求板的最大挠度。
解：将整体划分为4个单元，考虑结构的对称性，取1/4的结构分析。即取一个单元计算。
边界条件：2-3边、3-4边为固定边界
?w?w?0 ?0 ?x?yw2?w3?w4??x2??y2??x3??y3??x4??y4?0
节点1既在x方向的对称轴线上，又在y轴的轴线上。所以?x1??y1?0，现在只有w1。它对应总刚矩阵的第一行第一列，也就是k1。所以总刚方程：
k11w1?z1
?Et3b2a2?32??k11?k1?21?6??30?30?3.868Et/l 22?360?1??2?ab?ab??z1?qab?q2l，代入上式，可得： 16ql4w1?0.016163
Et由于板单元是非协调单元，所以精度对单元的尺寸更为敏感。具体可参见下表所示。
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例2 如将上面的模型边界改为四边简支，再计算挠度w。 仍取一个单元分析。
边界条件：w2?w3?w4??x2??x3??y3??y4?0 由对称条件仍有?x1??y1?0
所以仅有w1、θy2、θx4是待求的。这几个位移分量是第1、第6和第11，所以只要保留刚度矩阵中的1、6、11行列的元素就可以了。总刚矩阵：
?k1,1??k6,1??k11,1k1,6k6,6k11,6k1,11??w1??z1??????k6,11???x2???Tx2?
????k11,11????y4??Ty4?k1,1Et3Et3?k1?3.8682 k1,6?k6,1?k11??0.3922
llEt3?0.3922 k6,11?k11,6?0
lk11,1?k1,11?k20k6,6?k3??0.1391Et3 k11,11?k3??0.1391Et3
ql3ql3代入方程解得：w1?0.05525，?2y??x4?0.2096 33EtEt以上的解与精确解相比，误差为24.6%。
§5.7 薄板的平面应力状态与弯曲状态的组合
实际结构的受力通常并不仅仅是一种单纯的板平面应力和板的弯曲应力，而是两种状态的结合。现在就来讨论这两种状态的组合情况。
有前面平面刚架单元的推导经历，我们就可以参照同样执行了。 一平面应力状态下单元的节点力和节点位移向量
??Fi?????i????F??????j???j??T?i???ui????K?8?8?? 其中?Fi???UiVi? ?????F??m??m????p????Fp??????二弯曲应力状态下单元的节点力和节点位移向量
vi?
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