武汉理工大学有限元分析基础教案
第二章 平面问题
平面问题在力学研究的课题中属弹性力学的范畴。该类问题不仅本身具有典型性，而且在机械零构件的分析中，也是应用得非常广泛。所以这类问题也称之为经典的力学问题。
我们知道，实际的机械零构件都是具有三维空间尺寸的物体，理应作为三维对象处理，但是当物体的几何形状和受力状态处于某些特定的情况下，近似地简化为平面问题，不仅可以大大简化计算的工作量，而且其精度也完全能够满足所要求。如：直齿圆柱齿轮可在垂直与孔轴线的截平面内作平面应力分析就足以了解整个齿轮的受力状态；大坝的横断面可作平面应变分析来了解整个大坝受力情况等。
本章是全书的重点，在这里不仅介绍弹性力学的基本知识。还将系统地讲解有限元的基本概念、原理和方法。是学习以后各章节的基础。
§2.1 外力、应力、应变和位移
外力、应力、应变和位移的概念在材料力学中已经学习过，由于这些概念在弹性力学、有限元法中具有和在材料力学中不同的规定，弹性力学中的规定和有限元法是完全相同的，所以在这里我们将按照弹性力学的习惯表达方法把他们集中的加以阐述。 一，外力
外界作用在物体上的作用力，可以分为两大类： 1） 体积力
分布在物体体积内的力。如：重力、惯性力和磁性力等。
单位体积的体力在坐标轴上的分量X、Y、Z，称为体力分量。符号规定为沿坐标轴正向的为正，沿负向的为负。 2） 面力
作用在物体表面的力。如轮压、水压等。
它又可细分为集中力与分布力。面力在坐标轴上的投影，表示为X、Y、Z。符号沿正轴为正，负轴为负。 二，应力
弹性体受到外力作用后，内部产生的抵抗变形的内力。
以弹性体中P点为定点的微单元体来考察。所谓微单元体，就是图中PA、PB、PC的边长分别为dx、dy和dz。以下简称这样的微单元体为微元体。
微元体每个面上的应力都可以分解为三个应力分量。以图中红面为例，分别是σx、τxy、τxz。
应力命名的规则：以应力所在面垂直的坐标轴为第
一个下标，应力指向为第二下标。如果下标相同就用一个下标表示。
符号规定：正面上的应力与坐标轴同向为正，反之为负。负面上的应力与坐标轴反向为正。反之为负。
所谓正面就是面的外法向与坐标轴同向为正。反之为负面。
作用在两个相互垂直的面上，并且垂直与该两面交线的剪应力互等。即： τxy=τyx；τyz=τzy；τxz=τzx
如此以来，代表P点应力状态的应力分量应有6个，它们是：
??????x?y?z?xy?xz?yz?T
三，位移
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任一点的位置移动用u、v、w表示它在坐标轴上的三个投影分量。
?????uvw?
T符号规定：沿坐标轴正向为正，反之为负。 四，应变
弹性体内各点的位移在受力后一般是不相同的。各点之间距离的改变，从而使物体形状发生变化，即所谓的变形。而物体的形状总可以用它各部分的长度和角度表示。
长度的改变称为正应变ε，角度的改变称为剪应变γ。以微元体三个棱边的线伸长和角度的变化，就分别有和6个应力分量相对应的6个应变分量，即：
??????x?y?z?xy?xz?yz?T
为与前面符号规定一致，这里对剪应变的符号规定如下：
正应变伸长为正，缩短为负；剪应变使直角变小为正，变大为负。
§2.2 两类平面问题
前面我们讲过，实际受力物体都是三维的空间物体，作用在其上的外力，通常也是一个空间力系，其应力分量、应变分量和位移也都是x、y、z三个变量的函数。但是当所考察的物体具有某种特殊的形状和特殊的受力状态时，就可以简化为平面问题处理。
弹性力学中的平面问题有两类。 一，平面应力问题
当物体的长度与宽度尺寸，远大于其厚度（高度）尺寸，并且仅受有沿厚度方向均匀分布的、在长度和宽度平面内的力作用时，该物体就可以简化为弹性力学中的平面应力问题。
我们分析以下其应力特征。
当z=±t/2时，有σz=0、τzx=0、τzy=0。 由于板较薄（相对于长度和宽度尺寸），外力沿板厚又是均匀分布的，根据应力应连续的假定（弹性力
学中的基本假定），所以可以认为，整个板的各点均有σz=0、τzx=0、τzy=0。如此以来，描述空间问题的6个应力分量也就变为了3个，即
??????x?y?xy?T
而且这些应力分量仅是x、y两个变量的函数。 二，平面应变问题
当物体是一个很长、很长的柱形体，其横截面沿长度方向保持不变，物体承受平行于横截面且沿长度方向均匀分布的力时，该问题就可以简化为平面应变问题处理。
分析其应力特征。假定其长度方向为无限长，那么任一横截面都可以看作是物体的对称面，如此则有该面上的点都有w=0，也就是横截面上的所有点都不会发生Z方向的位移。由这一点可以推出也就有εz=0、τzx=0、τzy=0。
和平面应力相比较，平面应变是εz=0，那么是否也就有σz=0呢？
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可能有同学想σ=Eε，当然也就有σz=0，这是错误的。
平面应变状态下σz≠0的。虽然不等于零，但它也不是一个独立的变量了，它由σx、σy的大小而决定。如此以来，独立的应力分量同平面应力问题一样也是3个：
??????x?y?xy?T
三，两类问题的比较
1， 几何特征
平面应力 厚度＜＜长度、宽度
平面应变 厚度＞＞长度、宽度 为便于说明可讲上述长度看作为厚度 2， 受力特征
外力都必须在其面内且不沿厚度方向变化 3， 应力特征
平面应力 σz=0、τzx=0、τzy=0。εz≠0自由变形（无约束） 平面应变 σz≠0但不是自变量、τzx=0、τzy=0。εz=0
总以上比较可以看出，平面应力是真正的2维（平面）应力状态，而平面应变却不是，而是3维应力状态，只不过σz不是独立变量而是随横截面平面应力分量而定。独立变化的应力分量只有3个，类似于平面应力状态。
§2.3 平衡微分方程
弹性力学求解问题是从静力学、几何学和物理学三方面综合考虑的。所以我们首先微元体应该满足的平衡条件——平衡微分方程。
我们以平面问题为例推导，看看它应该具有什么形式。
首先对平面问题的微元体进行受力分析图，如左所示。物体静力平衡的条件是：∑Fx(y)=0；∑M=0。先看∑Fx=0
?????????yx?yxdy???x?xdx?dy?1??x?dy?1????dx?1??yx?dx?1?X?dydx?1?0?x?y????
展开化简得
???x????yx???X?0????????x???y????????同理可求得∑Fy=0满足得条件，? ?y???xy??Y?0??y???x?????由∑M=0，列出方程如下：
??xy???yx??dxdx?dydy??????dy?1???dy?1????dx?1???dx?1??0化简后得： xyyxyx?xy????x?22??y?22??xy1??xy1??yx?dx??yx?dy 2?x2?y略去微量项，可得：?xy??yx。这就是前面所将的剪应力互等。
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对于平面应变问题，微元体的前后面还有正应力σz，不过它们是互等的。对于推导出来的结果，没有任何影响。所以平面问题的平衡微分方程就是：
???x????yx???X?0????????x???y????y???y?????xy? ??????x???Y?0???写成矩阵形式
???0??x0??y??y??x??x?????X????y?????0 ?????Y??xy?§2.4 几何方程
考察平衡微分方程，其中具有三个未知变量σx、σy、τxy，，而只有两个方程，方程具有无数个解。表明仅从静力学关系无法求解该方程。我们必须从其它方面寻求帮助。
弹性体在受到外力后，会发生位移和形变，从几何上描述弹性体各点位移于应变之间的关系，就是弹性力学中的又一个重要方程——几何方程。
仍然取截面的微元体ABCD，AB、CD边长为dx、dy，厚度为“1”。 位移u、v都是x、y的函数，即u(x,y)、v(x,y)，偏导数
?u?v、表示位移分量u、v沿?x?x坐标轴x的变化率，偏导数
?u?v、表示位移分量u、v沿坐标轴y的变化率，设A点的位?y?y移为u、v，那么B’点的位移就是：
uB'?u??u?vdx vB'?v?dx ?x?x?u?vdy vD'?v?dy ?y?y同理的D’点的位移分量
uD'?u?由于α角在位移和形变很微小的情况下非常小，所以
A’B’≈A’B”
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线段AB位移后的总伸长量为 A’B’-AB=A’B”-AB=uB’-uA=u?∴?x??u?udx-u=dx ?x?x?v?v?u?udy/dy?，同理可得?y? dx/dx??y?y?x?xv?v??dx??v?x剪应变由α、β两个角度组成
B'B\??tg??'\?AB?u??dx??u?dx?u??x????v?x1??u?x
由于
?u?u?v ?1，所以??，同理可得???y?x?x?v?u? ?x?y∴?xy?????综合以上几何方程，并将它们写成矩阵形式：
??x????x?????y???0??????xy???y0??u??? ?y???v?????x?由以上方程可以看出，当弹性体的位移分量确定以后，由几何方程可以完全确定应变，反过来，已知应变却不能完全确定弹性体的位移。这是因为物体产生位移的原因有两点：
1） 变形产生的位移。 2） 因运动产生的位移。
因此弹性体有位移不一定有应变，有应变就一定有位移。
§2.5 物理方程
描述弹性体内应力与应变关系的方程，我们称之为物理方程，也叫材料的本构方程。 弹性力学通常研究的是各向同性材料，在三维应力状态下的应力应变关系。当弹性体处于小变形条件下，正应力只会引起微元体各棱边的伸长或缩短，而不会影响棱边之间角度的变化，剪应力只会引起角度的变化而不会引起各棱边的伸长或缩短。因此运用力的叠加原理、单向虎克定律和材料的横向效应（泊松效应），我们就可以很容易的推导出材料在三向应力状态下的虎克定律，也就是通常所说的广义虎克定律。
式中，E——材料线弹性模量 G——材料剪切弹性模量
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