武汉理工大学有限元分析基础教案
μ——材料横向收缩系数，即泊松系数。 三者不是独立的。具有以下关系：
G?E
2?1???这些参数都是材料的固有属性系数，可以通过查材料手册获得。如：钢材的弹性模量E＝196～206GPa之间，通常取2.1×105MPa，μ＝0.24～0.28之间，也取为0.3进行计算，G＝79GPa。
将以上空间问题的物理方程运用到平面问题，其形式如下： 1） 平面应力问题的物理方程
前面分析已知，平面应力问题有σz=0、τzx=0、τzy=0。所以：
1??x???y? E1?y???y???x?
E1?z????x???y?
E12?1????zy??xy??xy GE?x?从以上物理方程，也论证了我们前面说的εz≠0的结论，但由于它是由x和y方向应
力产生的附加无约束变形，所以通常不予以考虑。
在有限元分析中更多的是运用应变表示的应力关系，所以我们将上式变形一下：
?x?E??x???y?
1??2E??y???x? 21???y??xy?E?xy
2?1???以上方程的矩阵表达形式为：
??x?E????y??21??????xy???1????0???0???x???10???y? 简记为：?????D????
1????????xy?02?式中：{σ}、{ε}为该问题的应力、应变向量。
[D]为弹性矩阵。它是一个对称矩阵，且只与材料的弹性常数有关。 2） 平面应变问题的物理方程
因为εz=0所以由空间物理方程的第三式得：
?z????x??y?，代入（1）、（2）式得
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1??2?x?E1??2?y?E????????x1??y?? ??????????y1??x?? ???zy?21?1?12?1??????xy??xy??xy EGE1??2??同理变型为应变表示应力的形式：
?x????????y?? 2?x1????????1???1????????????x?? 2?y1????????1???1?????E1??2E1??2?y??xy?E1??2???2?1??1???????xy
矩阵形式：
E??x?1??2????y??2???????xy?1???1?????????1????1?????0???1??10??0????x????0???y?
???xy?????1?1????2?????D???? 也可简记为?平面应变问题的弹性矩阵不同于平面应力问题的弹性矩阵，比较可以发现只需将平面应
力问题弹性矩阵[D]中的材料常数E换为E/(1-μ2)，μ换为μ/(1-μ)就得到了平面应变问题的弹性矩阵。其实弹性矩阵的这种转换方法，是弹性力学中将平面应力结果，转换到平面应变问题结论的一般方法。因为在两种平面问题的描述方程中（平衡微分方程、几何方程和物理方程），只有物理方程是不同的。
§2.6 边界条件
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求解弹性力学问题实际就是在确定边界条件下，求解8个基本方程（平面问题而言），以确定8个未知变量。所以从数学的角度看，就是求解偏微分方程的边值问题。边界条件的给出通常是各式各样的。大体可以分为三类： 1， 第一类边值问题
给定物体的体力和面力条件，确定弹性体的应力场和位移场。此类问题边界以力的形式给出，所以也称为应力边界条件。我们可以来考察一下应力边界的一般形
式：
上给出的力的
?jivj?Ti Ti是在Sσ面
分量。
平面问题如左图所示，设