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μ——材料横向收缩系数，即泊松系数。 三者不是独立的。具有以下关系：
G?E
2?1???这些参数都是材料的固有属性系数，可以通过查材料手册获得。如：钢材的弹性模量E＝196～206GPa之间，通常取2.1×105MPa，μ＝0.24～0.28之间，也取为0.3进行计算，G＝79GPa。
将以上空间问题的物理方程运用到平面问题，其形式如下： 1） 平面应力问题的物理方程
前面分析已知，平面应力问题有σz=0、τzx=0、τzy=0。所以：
1??x???y? E1?y???y???x?
E1?z????x???y?
E12?1????zy??xy??xy GE?x?从以上物理方程，也论证了我们前面说的εz≠0的结论，但由于它是由x和y方向应
力产生的附加无约束变形，所以通常不予以考虑。
在有限元分析中更多的是运用应变表示的应力关系，所以我们将上式变形一下：
?x?E??x???y?
1??2E??y???x? 21???y??xy?E?xy
2?1???以上方程的矩阵表达形式为：
??x?E????y??21??????xy???1????0???0???x???10???y? 简记为：?????D????
1????????xy?02?式中：{σ}、{ε}为该问题的应力、应变向量。
[D]为弹性矩阵。它是一个对称矩阵，且只与材料的弹性常数有关。 2） 平面应变问题的物理方程
因为εz=0所以由空间物理方程的第三式得：
?z????x??y?，代入（1）、（2）式得
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1??2?x?E1??2?y?E????????x1??y?? ??????????y1??x?? ???zy?21?1?12?1??????xy??xy??xy EGE1??2??同理变型为应变表示应力的形式：
?x????????y?? 2?x1????????1???1????????????x?? 2?y1????????1???1?????E1??2E1??2?y??xy?E1??2???2?1??1???????xy
矩阵形式：
E??x?1??2????y??2???????xy?1???1?????????1????1?????0???1??10??0????x????0???y?
???xy?????1?1????2?????D???? 也可简记为?平面应变问题的弹性矩阵不同于平面应力问题的弹性矩阵，比较可以发现只需将平面应
力问题弹性矩阵[D]中的材料常数E换为E/(1-μ2)，μ换为μ/(1-μ)就得到了平面应变问题的弹性矩阵。其实弹性矩阵的这种转换方法，是弹性力学中将平面应力结果，转换到平面应变问题结论的一般方法。因为在两种平面问题的描述方程中（平衡微分方程、几何方程和物理方程），只有物理方程是不同的。
§2.6 边界条件
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求解弹性力学问题实际就是在确定边界条件下，求解8个基本方程（平面问题而言），以确定8个未知变量。所以从数学的角度看，就是求解偏微分方程的边值问题。边界条件的给出通常是各式各样的。大体可以分为三类： 1， 第一类边值问题
给定物体的体力和面力条件，确定弹性体的应力场和位移场。此类问题边界以力的形式给出，所以也称为应力边界条件。我们可以来考察一下应力边界的一般形
式：
上给出的力的
?jivj?Ti Ti是在Sσ面
分量。
平面问题如左图所示，设阴体弧长为ds，厚度为单元厚度
X轴的夹角为θ，由阴影部分微元体的平衡条件可以推出：
影部分的微元“1”，其法线与
?Xds?1??x?dscos??1??xy?dssin??1?0??? Yds?1???dssin??1???dscos??1?0yxy??化简后得：
??xcos???xysin??X??? 此即为平面问题应力边界方程。 ??ysin???xycos??Y?2， 第二类边值问题
给出弹性体的体力和物体表面各点得位移条件，确定弹性体得应力场和位移场。由于以位移给出已知得边界条件，所以也称为位移边界问题。 一般得位移边界条件为：ui?ui 在Su面上。
3， 第三类边值问题
给定弹性体得体力和一定边界上得面力，其余边界上的位移，确定其应力场和位移场。由于边界以力和位移两种形式给出，所以也称为混合边界问题。 针对不同的边界条件，弹性力学求解的方法也有所不同。
§2.7 弹性力学的解题方法（解析法）
1， 应力法
由于第一类问题的边界条件以应力形式给出，所以以应力作为基本的未知量的求解过程，就是人们通常所说的应力法。 由于平衡方程中有三个未知量，而只有两个平衡微分方程，必须找出另外一个包含应力分量的方程，才能求得方程解。
考虑到弹性体变形前是一个连续体，变形后也应是连续体的基本假设，所以要求微元体的变形一定要协调，才能使变形前、后，不会发生裂缝、重叠等现象。要使变形协调，就要研究几何方程。
前面介绍的平面问题几何方程如下：
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?x??v?u?v?u? ?y? ?xy??y?x?y?x分别对εx、εy、求y、x的二阶偏导，然后相加：
2?2?x??y?2??222?y?x?y2??u?????2??x??x2??v??2??u?v???xy???y????x?y???y??x????x?y ????上式表明三个应变分量之间应满足的连续性条件，我们称之为形变协调方程（相容方程）。
通过物理方程，使上述的形变协调方程换成应力表示的形式，使之与平衡微分方程就构成了应力法中需要求解的方程组。具体我们来看看：
1） 利用物理方程消去相容方程中的形变分量（以平面应力为例）
?2?1?????xy1??2?2??x???y??2??y???x??? ?E??y2E?x?y?x?2?2?xy??2??2 ?2??x???y??2??y???x???2?1????x?y?x??y?2） 利用平衡微分方程，消去上述公式中的剪应力
??xy?y??xy?x????x1 ?X ○
?x??y?y2 ?Y ○
??1式对X求偏导，○2式对y求偏导，然后两者相加 ○
2?2?x?X??y?Y 2?????22?x?y?x?y?x?y?2?xy代入相容方程，化简
??2?x?X?2?y?Y??2?2??x???y??2??y???x???1?????2??2???x?y??y2?x?y???x?22?2?x??y??y?2?x??X?Y????? ?????1???2222???x?y?x?y?x?y????2??X?Y??2??????????????1??y??x??y?? ??x2?y2?x????对于平面应变而言，运用前面讲过的物理方程的转换方法，只需将上式中的μ代以μ/(1-μ)
就可以了。
??2?2?1??X?Y?????????????? y????x2?y2?x1????x?y???武汉理工大学教务处制 14
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3） 最终求解的方程组 平面应力问题 ???x????yx???X?0????????x???y????y???y?????xy? ??????x???Y?0?????2??X?Y??2??????????????1??y??x??y?? ??x2?y2?x????平面应变问题 ???x????yx???X?0????????x???y????y???y?????xy? ?????Y?0???x??????2?2?1??X?Y??????? ???????y????x2?y2?x1????x?y???三个微分方程，三个未知变量，再考虑边界条件，即可求得。
如果是单连体（只具有唯一的封闭边界）的对象，满足了以上方程组后就是实际的解。但对于多连体（具有多个封闭边界）的对象，中还包含有待定系数，这些待定系数会导致位移的解出现多值性。所以对于多连体的问题，还应考虑位移的单值条件，才能最终确定。该部分的内容可以参见徐芝纶编的《简明弹性力学教程》中圆环受均布压应力的情况（P87） 2， 位移法
位移法主要针对第二类边界条件问题求解。 解题步骤：
1）改写物理方程使之成为应变表示应力的形式 2）应用几何方程表示以上得到公式中的应变 3）将它们代入平衡微分方程
经整理最后得到的位移法求解平面应力问题方程为：
E1??2E1??2??2u1???2u1???2v????x2?2?y2?2?x?y???X?0 ????2v1???2v1???2u????y2?2?x2?2?x?y???Y?0 ??两个未知量，两个方程，再加以边界条件即可求得问题的解。
以上介绍的解析法中，应力法和位移法是求解弹性力学问题的基本方法。但都需要解联立的偏微分方程组。求解过程中的数学难度，常常导致这种求解是无法进行的。
由于应力法在体力为常量的情况下可以进一步简化为求解一个单独的微分方程的问题，所以应力法在解析法中相对应用较多。但即使这样，在应力法中，也常常采用逆解法或半逆解法。
§2.8 常体力情况下应力法的简化、应力函数及实例分析
我们前面讲述了弹性力学的三大方程，及应用这三大方程的应力法和位移法解题步骤。但是也说了要求解这些联立的偏微分方程在数学上是存在很大难度的。很多情况下，根本无
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