武汉理工大学有限元分析基础教案
法进行。那么弹性力学如何在实际中进行应用，它们和我们前面学过的材料力学区别究竟在哪里？我们将通过这一节的学习，一方面了解如何应用这些弹性力学的方程求解问题，另一方面加深对力学概念的理解，建立力学分析问题的直观感觉，为建立有限元模型打好基础。
我们知道在大多数情况下，我们分析的对象，体力是常数，它不随x、y坐标变化。如此以来，前面讲解的第三个方程（应力表示的相容方程），就可以简化为了：
??2?2???x2??y2??2????x??y??0 简记为：???x??y??0 ?以上方程称为拉普拉斯微分方程，数学上也称之为调和方程，满足调和方程的函数称之
2为调和函数，及这里的?x??y。?是拉普拉斯算子。
??这样以来常体力情况下的应力法方程就是： ???x????yx???X?0????????x???y????y???y?????xy? ??????x???Y?0????2??x??y??0
以上方程都不含有材料常数E、μ，所以平面应力和平面应变两类问题具有相同的方程，
这表明：在单连体问题中，只要边界相同、受同样的分布外力，应力分布与材料无关；也与是平面应力还是平面应变的状态无关。
以上结论的意义：
1弹性力学平面解答的应用范围加宽。 ○
2为实验应力分析提供了理论依据（光弹实验） ○
下面我们考察平衡方程：
???其解由???x???其次微分方程的通解，加上任意一组特解组成。 ?yx??0??????x???y????y????xy? ???y??????x???0????特解我们可以很容易找到。如：?x??Xx ?y??Yy ?xy?0 所以现在关键是找其次方程的通解。
???由第一个方程，可得：???x?????yx??????x???y???????xy?，由数学微分理论，该式是一个函数全微?y分的充要条件。所谓全微分就是有一个函数
dA??xdy????xy?dx 且 ?x??A?A ??xy? ?y?x同理由第二式可得：?y??B?B ??xy?
?y?x由剪应力公式又知存在一个函数φ，可以使d??Bdy?Adx
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∴A????? B? 故： ?y?x?2??2??2? ?x?2 ?y?2 ?xy???y?x?x?y由于应力与函数φ存在这样的关系，因此函数φ即是应力函数。
我们用应力函数来表示相容方程：
??2??2?2??2???2?2????x2??y2????x??y?????x2??y2?????x2??y2????0 ???????2?2???4??0
上式表明φ是重调和函数。
前面讲过在弹性力学中，常用逆解法和半逆解法。
所谓逆解法就是设定各种满足相容方程的应力函数，运用σx、σy与φ的关系，求得应力分量，再考察其满足何种边界条件，从而知晓这样的应力函数可以解决什么问题。
所谓半逆解法就是根据弹性体的边界形状和受力关系，设定部分应力分量为何种形式的函数，从而确定应力函数φ，在运用应力函数求出所有的应力分量，根据边界条件确定应力分量应具有的最终形式。 下面我们来看一个半逆解法的例子。 运用逆解法求简支梁受均布载荷的应力分布。 由材料力学知，弯曲应力主要由弯矩M引起，剪应力由剪力引起，而挤压应力由分布载荷q引起。现在q为不随x变化的常量。因此我们设σy不随x坐标变化，即?y?f?y?，
?2??f?y? 因此 ?y?2?x我们对x积分：
???xf?y??f1?y? ?x武汉理工大学教务处制 17
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x2??f?y??xf1?y??f2?y?
2上式中f1(y)、f2(y)是待定函数。由于应力函数必须满足相容方程，所以：
?4??4??4?1 ???4?222?4?0 ○
?x?x?y?y4?4??4?d2f?y??0 22? 42?x?x?ydyd4f1?y?d4f2?y??4?x2d4f?y?1中 代入到式○??x?44442dy?ydydyd4f1?y?d4f2?y?1d4f?y?2d2f?y?x?x??2?0 44422dydydydy考察上式可以看出它是一个x的二次方程，所以一般情况下只有两个根。也就是说只有两个位置能够满足上式。但我们对相容方程的要求是绝对满足。也就是要求在整个梁的范围内都满足。所以只有该方程的系数项和自由项全部为零。即：
d4f1?y?d4f2?y?d2f2?y?d4f?y??0 ?0 ?2?0 4442dydydydy2 ∴f?y??Ay?By?Cy?D ○
323 f1?y??Ey3?Fy2?Gy ○
d4f2?y?d2f?y???2??12Ay?4B 42dydyf2?y???A5B44 y?y?Hy3?Ky2 ○
1063、○4中分别省掉了常数项和一次项、常公式中的A.、B、C…K都是待定系数。公式○
数项。这是由于f1(y)和f2(y)分别是应力函数中x的一次项和常数项的原因，这样处理不会对应力分量产生影响。
最后求出的应力函数为：
x2AB??Ay3?By2?Cy?D?xEy3?Fy2?Gy?y3?y4?Hy3?Ky2
2106????由应力与应力函数的关系，可以求出各个应力分量：
?2?x2?x?2??6Ay?2B??x?6Ey?2F??2Ay3?2By2?6Hy?2K2?y?y?Ay3?By2?Cy?D
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?xy??x?2Ay2?2By?C???3Ey2?2Fy?G?
由于以上求得的应力分量满足了平衡方程和相容方程，所以只需根据边界确定A…K的系数，就求得了该问题的解。
根据对称性，知道为偶函数，为奇函数，所以有E=F=G=0
通常梁的跨度远大于梁的深度，因此上下边界是主要边界，它们必须满足。
???yy?h2?0 ??y?y??h??q ??xy?y??h?0
22将它们代入的表达式，并且考虑E=F=G=0
h3h2hA?B?C?D?0 842h3h2h?A?B?C?D??q 84232hA?hB?C?0 432hA?hB?C?0 4以上四个方程解四个未知数，求得：
A??有：
2q3qq B=0 将他们代回到应力分量的表达式中，也就C?D??2h2h36q26q3xy?y?6Hy?2K 33hh2q3qq?y??3y3?y?
2h2h6q3q?xy?3x2y?x
2hh?x??左右两个边界，由于前面已经考虑了对称性，所以这个仅考虑优边界。
没有水平力。要x=l时，σx=0，考察σx的表达式，除非q=0。而这和已知条件相违背。所以在这个边界上我们只能要求部分满足。运用圣维南原理运用等效力系代替它。（这样产生的误差只在力作用点附近较大）。运用的等效力系就是合成力系为平衡力系：
?h2h2????h2xx?ldy?0 合力等于0
?h2????xx?lydy?0 合力矩等于0
ql2q由第一个条件得K=0，（奇函数在对称区间上的积分为零）；由第二个条件得H?3?
10hh可以证明剪应力的合力为-ql。即
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?h2????h2xyx?ldy??ql
最终求得的结果，加以整理：
6q2y?y23?2 ?x?3?l?x?y?q?42???h?h5?h?q?y??2y??y???1???1??2?h??h?
2?xy6q?h22????3x??y?? h?4?h3h2y2?由于厚度为“1”，此时其惯性矩I?，静矩S?（计算见图）
1282任意一点的弯矩M?ql?l?x??剪力Q??ql?q?l?x???qx
q?l?x?2?ql2?x2 22?? 所以上式中的应力分量可以改写为：
My?y23??x?y?q?42?? ?Ih?h5??q?y??2y??y???1???1??2?h??h?
2?xy?QS I各项应力的分布
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