武汉理工大学有限元分析基础教案
???e??D????e??D??B????e
弹性矩阵[D]是由材料常数组成的矩阵。令[S]=[D][B]，代入平面应力的物理方程，就有
???e??S????e??1E???1??2??0????bi0?1?10??0?2A1???ci?0?2?0cibibj0cj0cjbjbm0cm0??ui????cm??????bm???vm?∴
??biE??b?S??i221??A?1???ci??2?cici1??bi2bj?cjcjcj1??bj2bm???bj1??2?bm1??2cm??cm?cm?也可以
?1???bm?2?写成分块矩阵的形式
??biE??b?Si??i21??2A?1???ci??2??ci? i= i, j, m
?1???bi?2??ci??3） 用虚功方程导出单元刚度矩阵（单刚矩阵）
虚功方程
????F???????D????dv
*T*Tv假定单元的厚度为t，上式改写为单元的虚功方程形式，
??????F???T*ee?????D????tdxdy
*T虚应变也可以用几何方程表示
?????B???? ?????*e*eT*eeT*eAT*e??B??T????T*e???????B?代入上式
T*eT??????F??????????B??D??B????tdA
e由于虚位移元素是常量，所以可以提到积分号以外，并与左边的消去（为什么？）。于是上式变为：
?F?e???A?B?T?D??B????etdxdy
令?K??eT??B??A?D??B?tdxdy，虚功方程就成为了单刚方程
?F?e??K?e???e
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由于[B]、[D]都是不含有x，y的常数矩阵，所以双重积分实际就是对面积积分了。
?K?e??B?T?D??B?tA A——是三角形面积
将前面求得的应变矩阵和弹性矩阵代入，然后作矩阵乘法。就得到我们要求得的矩阵计算公式。我们在这里采用分块矩阵的方法记忆。
?K?e??Kii????Kji??Kmi???K??K?????K??K???
?K??K???ijimjjjmjmmm1???bb?crcs?rsEt2?Krs???4?1??2?A??bc?1??bcsrrs2??brcs?1???bscr?2? r,s=i,j,m 1??crcs?brbs?2?注意以上是平面应力状态的单刚矩阵，如果是平面应变问题呢？
二，单元刚度矩阵的性质
单元刚度矩阵[K]e表示单元抵抗变形的能力。它与通常的弹簧刚度系数k的物理意义本质相同，只不过[K]e是一个6×6阶的矩阵。共有36个元素。这是因为三角形的节点力向量和节点位移向量都为6的缘故。 1） 物理意义
分块矩阵[Kij]表示的物理含义是：节点j处产生单位位移，而节点i、m被约束，此时在节点i处产生的节点力。我们写出它的4个分量元素：
?K?ij11?kij??21??kij12?kij 22?kij??在上面的矩阵中，元素的第一个下标表示产生节点力的节点，第二个下标表示产生节点位移
的节点。上标“1”表示水平分量，“2”表示竖直分量。 而且上标和下标的关系是对应的。也就是说第一个下标对应第一个上标；第二个下标对应第二个上标。如此就有：
12就表示节点j处产生竖直单位位移，在节点i处产生的水平方向的节点力。 kij2） 单元刚度矩阵是对称矩阵→?K???TTeT??K?
eTT这一点可以通过简单的数学证明如下：
??K?????B??D??B?tA?eTTTT??B??D??B?????B??D??B?tA??K?e
单元矩阵的对称性，从物理学角度反映出的道理就是，“功的互等”。也就是在节点j处产生某一位移引起节点i处的节点力，应等于在节点i处产生相同位移引起节点j处的节点力。 3） 单元刚度矩阵中的元素只与单元的材料性质、几何形状、尺寸大小有关，而与单元的位
置无关。
单元刚度矩阵中不含有ai、aj、am，上节对位移模式收敛性分析中，曾经说明了a1、a4分别表示单元的平移分量，而
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1?aiui?ajuj?amum? 2A1?aivi?ajvj?amvm? a4?2Aa1?由上式知单元的平移运动与ai、aj、am有关，而[K]e又与ai、aj、am无关，所以说它不随坐标轴的平动而变。
4） 单元刚度矩阵是奇异矩阵，即?K??0
e从力学的角度理解单元的刚度方程?F???K????，当给定位移时，可以求得力；当给定
eee力时，却不能求得位移。因为[K]e不存在逆矩阵，在单元没有给出任何约束的情况下，除有应变的可能性外，还同时有刚体位移的可能性。所以方程无解。
§2.13 载荷的节点移置
前面对于有限元模型的分析时，曾经说过，单元之间的力传递是通过节点进行的。所以不在节点上的力，必须按静力等效原则，把它们移置到节点上。静力等效原则：原载荷在任何虚位移上所做的虚功，与移置到节点上的节点载荷所做的虚功相等。
这种处理方法，和我们前面讲到的圣维南原理相同。它们只会影响模型局部的应力分布，而不会影响整个结构的应力。下面根据力的类型，分类说明处理的方法。
1） 集中力的移置
如图所示的受力示意图，M处的力为
?P???Px?R?e??xi等就是：
*TPy?T，移置后的节点载荷为
yixj*Tyjxmym，虚功相
?T??????R??????P?
∵
?????N????，所以有
**eT??????R????N??????P????????N??P?
*TT*eT*e∴?R???N??P?
T由于我们现在一直局限于单元的载荷移置，所以上式中的{R}应记为{R}e。如果将它写成分量的形式：
?R?e??Xi?NiPxYiNiPyXjYjXmYm NjPyNmPxNmPy
?T?NjPx?T从上面公式可以清楚的看到，载荷移置结果与单元位移模式密切相关。 2） 体力移置
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体积力密度为?p???XY?，将单元中微元体的体力?p?tdxdy看作集中力，那么
T?R?e???A?N??p?tdxdy
3） 面力的移置
设在单元的一个边界上作用有分布力，面力的密度为?p??X力也看作是集中力，则有
?Y?，将微面积tds上的面
T?R?e??s?N?T?p?tds
以上面力，体力的积分运算较为复杂，在线性模式下，可按照理论力学中静力学平行力分解的原理，直接求得等效的节点载荷：
W的节点载荷。 32qlt2 i、j边受到集度为q的均布面力载荷，则i、j边节点受到○的等效节点载荷。
213 i、j边受到线性分布的面力，i处集度为零，j处集度为q其合力为R?○qlt，那么i
212处的节点载荷为R，j处的载荷为R。
331均质等厚的三角形单元，受W的体力，则三个节点分别受到○
这些简单的规则，对于今后实际中的应用，可以提高效率。
§2.14 整体分析
该过程是将离散分离的各个单元组集成离散的结构物，从而建立模型的总刚方程。 一，总刚方程和总刚矩阵的组集 1， 总刚度矩阵的组集原则
A， 整个离散结构变形后，各个单元在节点处仍然协调地相互连接。即环绕某个节点的n
个单元，在节点i处具有相同的位移。数学公式的描述：
???????1ii2?????i????i?
nB， 各个节点应满足静力平衡条件。即每个节点上的节点力合力应等于该节点的节点载荷。
数学公式描述：
??F???R?
iie此处的
?e代表环绕节点i的所有单元节点力求和。
2， 在该原则指导下，实例的组集过程
如图a所示的平面问题，采用图b的方法划分网格，单元分析完成后，现将它们组集成原问题的有限元离散网格，求该问题的总刚矩阵。
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单元○1为i，j，m=1，2，3（i节点从最小号开始，然后逆时针排列节点号），单刚方程：???F1?1???K11?1?K12?1?K1??F?1?????1?13???K???1?1??222?1?K23?1????K21????1?2?? 将它们展开 F3?1?????K31?1??K1133???????3?132??K???F11?1??K11???1?1??K12?1??2?1??K13?1??3?1
?F2?1??K121???1?1??K22?1??12?1??K23???3?1 ?F11113???K31???1?1??K32???2?1??K133???3?
完全相同的道理，得其他三个单元展开的单刚方程
单元○
2 节点号为i，j，m=1，3，4 ?F21???K11?2??1?2??K213?2??3???K14?2??24? ?F3?2??K31?2??1?2??K33?2??23???K34?2??4?2 ?F24?2??K41???1?2??K43?2??3?2??K44?2??4?2
单元○
3 节点号为i，j，m=3，5，4 ?F33???K33?3??3?3??K35?3??5?3??K34?3??34? ?F35?3??K53?3??3?3??K55???5?3??K54?3??4?3 ?F34?3??K43???3?3??K345???5?3??K44?3??4?3
单元○
4 节点号为i，j，m=2，3，5 武汉理工大学教务处制 35
节点号