武汉理工大学有限元分析基础教案
1010，然后把载荷向量中的对应元素代以给定位移乘以相应主对角线上的元素，再同样乘以一个很大的数。 同上例。
?k11?1010??k21?k31??k41?????k101k12k22k32k42?k102k13k23k33k14k24k34k43k44?1010??k1030k110??u1??c1k11?1010???????k210??v1??Y1??k310??X2?u2?????? ????10??k410??v2??c4k44?10?????????????????v???k1010?Y5??5????考察第一个方程：
k11?1010u1?k12v1???k110v5?c1k11?1010
两边同除以k11?10，由于k11?10＞＞k1j，所以
u1=c1
同理可得v2=c4，（思考该方法不能用于固定位移的情况，为什么？） 必须说明的是，当总刚矩阵采用半带宽存储的时候，以上边界条件的引入也应当按照半带宽存储的格式修改，否则就是错误的。
1；当第二种情况时，用方法○2。 实际应用中，当是第一种情况时，采用方法○
五，应力计算
总刚方程在引入足够的边界条件后，就可以进行求解了。所谓足够的边界条件就是要使系统是一个几何不变的系统。数值解方程的方法大多采用高斯消元法。当求解出位移向量以后，就可以通过单元的几何方程求解应变，通过物理方程求解应力了。这个过程称之为回代过程。 1求解应变 ○
1010???e??B????e
2求解应力 ○
???e??D????e??D??B????e
由于三角形单元是常应力与常应变单元，所以由上
述方法求得的应力或应变看作是形心处的应力或应变。而且很明显，这样求得的应力或应变是不连续的。为了推算弹性体内某一点的接近实际应力，我们通常采用以下两种方法，来平滑应力的突变。
1绕节点平均法——就是将绕某一节点的各单元形心应○
力加以平均，来表示该节点的应力。 如左图所示。
??x?1?1??Ax??Bx?
2??x?2?1??Ax??Bx??xC??xD??xE??xF?
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该方法在各单元面积相差不大，单元的内部节点时较为准确。而在外部边界节点上，则不理想。所以对于边界节点多采用三点插值的方法求得。也就是用内部的节点来推算。 2两单元平均法——把相邻两单元的应力相加平均，表示两单元公共边中点的应力值。 ○
??x?2?1??Ax??Bx?
2边界边上的应力值也采用插值方法得到。
至此我们对于有限元求解平面问题的方法全部讲解完毕了。下面通过一个例子来看看，具体如何计算的。
§2.15 例题计算
一，有限元法求解平面问题的步骤：
1） 根据分析对象和给定的条件，按照一定的比例绘出计算简图，该图应有各部位的尺寸、
外力和支承情况。
2） 选择合适的坐标系，划分单元准备数据。数据包括节点数、编号和坐标，单元数、编号
和节点组成；材料特性常数；载荷大小及位置；边界条件。 3） 计算单元的面积、应变矩阵、弹性矩阵和单元的刚度矩阵。 4） 组集总刚矩阵，处理载荷移置，形成载荷向量。
5） 处理边界条件，修改总刚矩阵，得到最后的刚度方程。 6） 求解线性方程组，得到位移向量。 7） 求解应力值。 三，例题
设有如图所示的正方形薄板，在对角线上作用有沿厚度均匀分布的载荷，其合力为2kN，板厚为1个单元厚度，为使计算简便，假定材料的μ=0，求该板的变形。
分析：该薄板对称于对角线，受力也是如此，所以可取其1/4来计算。由于是取1/4，所以该模型的两个直角边，都是对称线。X的对称线不能有x方向的位移，y轴的对称线不能有y方向的位移。直角的顶点既是x轴对称线上的点，又是y轴对称线上的点，所以该点在x、y方向的位移都应该约束。最后得出的计算模型如下。 解：1准备的数据 A单元节点数据 坐标 1 2 3 4 5 6 武汉理工大学教务处制 42
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X Y 0 2 0 1 1 1 0 0 1 0 2 0
B单元信息数据 I J M 1 ○2 ○3 ○4 ○1 2 3 2 4 5 2 5 3 3 5 6 所有单元的板厚是“1”
C材料常数
弹性模量E，泊送比μ=0 D载荷数据
?R???0?10000000000?
TE位移边界
?????0v10v2u3v300u51x1y1y2?y30u6T0?
2计算单元刚度矩阵 单元1 面积A?11x221x31101?0.5 2113102b1?y2?y3?1?1?0 b2?y3?y1?1?2??1 b3?y1?y2?2?1?1 c1??x2?x3?0?1?1 c2??x3?x1??1?0??1 c3??x1?x2?0?0?0 形成的几何矩阵
?b1?B?1?1?02???c1弹性矩阵
0c1b1b20c20c2b2b30c30??00?1010?1??
c3??000?100?2?1??2?b3???10?1?101????1?D??E??1????0?????0?100??10??E?010?
?1?1???00?0??2??2?单元1的刚度矩阵
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0?0.50.500.5??0.5?0?10?100??1.50.5?1?0.5?E??0.501T?K???B??D??B?tA???
?0.5?10.51.50?0.52???00?1010????0.50?0.5?0.500.5????同理可求得?K?、?K?和?K?。需要说明的是可以利用位置无关性直接得出?K?和?K?，
23424由于它们是1单元平移得到，所以单刚和?K?一样。
1?K?300?1?00.50.5?0.50.5E?0??002?0??1?0.5?0.5??0?0.5?0.5?0?0?0.5?0.5??0?0.5?0.5??
10?1?01.50.5??1?0.51.5??0?13组集总刚
??K11?1?1??K?21??K?1?K??E?31?0?0???00?0.25?00.5???0.250???0.25?0.5?00?0.50?E??00?0?0?00??00?0?0?0?0?K12?1?K13?1000???K22?1?2?3?K23?1?3?K24?2?K25?2?30??K32?1?3?K33?1?3?4?K35?3?4?K36?4? 0?22?K42??K44?000??K52?2?3?K53?3?4?K55?2?3?400??44?K63??K66??000??0.25?0.250?0.5???1.50.25?1?0.25?0.25?0.2500.2500??0.251.5?0.25?0.50?0.500.2500??1?0.251.50.2500?0.5?0.2500.25?4引入边
??0.25?0.50.251.500?0.25?100??0.250000.750.25?0.5?100???0.25?0.5000.250.750?0.2500?00.25?0.5?0.25?0.501.50.250.5?0.25??0.250?0.25?1?0.25?0.250.251.50?0.25??000000?0.500.50?000.25000?0.25?0.2500.25??000.250000000000000界条件，采用划行划列（由第一中方法演变而来）就是将已知边界条件的节点位移所在的行和列全部划掉。得到的就是需要求解的位移向量，最后得到的总刚方程为：
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?0.5??1??0.5?0???0.51.5?????0.25?0???0?????0.5?0??0?0??0?0.25????0?0?0????v1???3.252??v???1.252??2?????u3??1???0.088??????? v?0.372E?3????u5??0.176?????????u0.176???6?按照每个单元的节点组成，从总节点向量位移中挑选出每个单元的节点位移向量，运用前面
单元分析中得到的公式，回代就能计算应变、应力了。（是哪个公式？）
§2.16 四节点矩形单元
前面我们运用三节点三角形单元，获得单元的应变和应力是不变的。这和实际情况有着明显的差异（实际中应力应变在单元中是连续变化的）。产生这种差异的原因，就是我们的位移模式过于简单。下面我们将就如何选择位移模式，提高有限元计算精度，进行说明。同时也可以就如何选择单元，有个初步的认识。首先讲解四节点的矩形单元。 一，矩形单元位移模式
如图所示的矩形单元，四个节点分别为i、j、m、p。
0?0.251.50.25?0.500?0.50.251.5?0.25000.25?0.5?0.251.5?0.50??v1??v?0???2?0???u3?????0??v3? ?0.5??u5????0.5????u6??解以上这个方程，可以得到以下的解。
单元节点位移向量????uie?viujvjumvmupvp
?T对应的会有8个节点力分量。由于矩形单元的节点位移向量是8个，那么根据前面我们学过
的三角形推导过程知道，可以建立8个方程，求解8个待定系数。所以在位移模式中的待定系数可以是8个。即：
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