北京市西城区抽样测试高三数学（理科）答案及评分标准
2001.6
一、CCDCB ADABA AB. 二、（13）
41（16）①③?②④；②③?①④. ;（14）;（15）36cm；
3n(n?1)三、解答题：其它解法仿此给分.
x?2??4?12?0（17）解：原不等式等价于?x?2 x?2??4?12?2???????????2分2??t?12?0?t则t>0且?2
??t?t?12?0??????????4分设2x?2?t?23或t??23,?? ??3?t?4.????????????????6分∴23?t?4.?????????????????8分 即23∴3?x?2?4?1og223?x?2?2.
1log23?x?4………………………………………11分 21∴原不等式的解集为{x|3?log23?x?4}.……………12分
2（18）解：（1）证明∵a+c=2b ∴sinA?sinC?2sinB………………1分
A?CA?CBBA?CA?Ccos?4sincos?4cossin∴2sin…4分 222222A?C?0 ∵sin2A?CA?C?2cos∴cos…………………………………………6分 221（2）解：cosA?sinC?cosAsinC?sinAsinC
3A?CA?C11?2coscos?[cos(A?C)?cos(A?C)]?
2226[cos(A?C)?cos(A?C)]…………………………………………9分 ?4cos2?4cos2A?C1?[2cos(A?C)?cos(A?C)] 23A?C1A?CA?C?[2(2cos2?1)?2cos2?1]………11分 2322?4cos2A?C21A?CA?C?(4cos2?8cos2?3) 322
=1…………………………………………………………………12分
（19）解：（1）PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD
故∠PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角…2分 在Rt△PAD中，PA⊥AD，PA=AD，∴∠PDA=45°………3分
（2）取PD中点E，连结AE，EN，又M，N分别是AB，PC的中点，
∴EN1CD21AB∴AMNE是平行四边形， 2∴MN∥AE…………………………………………………………5分 在等腰Rt△PAD中，AE是斜边的中线， ∴AE⊥PD
又CD⊥AD，CD⊥PD ∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥AE，又PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD…………………7分 ∴MN⊥平面PCD
∴平面MND⊥平面PCD……………………………………………8分 （3）∵AD∥BC，
所以∠PCB为异面直线PC，AD所成的角………………………9分 由三垂线定理知PB⊥BC，设AB=x(x>0)
a2?x2x∴tg?PCB??1?()2…………………………10分
aax?(0,?),∴tg?PCB?(1,??)………………………………11分 a又∠PCB为锐角，∴?PCB?(??,) 42??,)……………12分 425（20）解：（1）椭圆C2的两个焦点坐标是F1(?7,1),F2(3,1)离心率e2?……3分
7即异面直线PC，AD所成的角的范围为(由
511??2可知双曲线C1的离心率e1?……………………4分
3e1e222222∴c?25,a?9,b?c?a?16………………………………5分
(x?2)2(y?1)2??1……………………6分 故双曲线C1的方程为
916
（2）∵圆D经过双曲线的两个焦点，∴圆心D在直线x= –2上……7分
设圆D的方程为(x?2)2?(y?b)2?52?(b?1)2………………8分 整理得：x2?y2?4x?2by?2b?22?0
令y=0，得x?4x?2b?22?0……………………………………9分 设圆D与x轴的两个交点为（x1,0），（x2,0），则
2x1?x2??4,x1x2?2b?22
2依题意|x1?x2|=(x1?x2)?4x1x2?8
即16–4（2b–22）=64，解得b=5……………………………………12分 所以圆的方程为(x?2)2?(y?5)2?41……………………………13分
（21）解：依题意，价格上涨x%后，销售总金额为：
y?a(1?x%)?b(1?kx%)……………………………………………2分
ab[?kx2?100(1?k)x?10000]………………………………4分
100001（1）取k?
2ab1y?[?x2?50x?10000]
1000029∴x=50即商品价格上涨50%时，y最大为ab……………………7分
8ab[?kx2?100(1?k)x?10000] （2）因为y?1000050(1?k)此二次函数开口向下，对称轴为x?……………………………9分
k?在适当涨价过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x在{x|x>0}的一个子集内增大时，y也增大。
所在
50(1?k)?0，解之0 222an?1?bn?bn?1……②……………………………………………………2分 （I）∵an?0,bn?0，∴由②式得an?1?bn?bn?1 从而n?2时，an?bn?1?bn 2代入①2bn?bn?1bn?bnbn?1，∴2bn?bn?1?bn?1(n?2)………………4分