高等数学（Ⅱ）期末自测题参考答案
（选自西北工业大学2005级高数考题）
一、填空题（每小题3分，共36分）
??1?1????1.lim?lim1?1????x???x???xyxy????y??y??xxy?1y??1???lim??1????x???xy??y??????xyx??y??lim1y?e0? 1 .
1yycoscosFyy?zxzx . e?sin?0????xxzx??2xz2.函数z?z(x,y)由方程确定，则
x?yFzxexe3.设函数u?lnx2?y2?z2，则它在点M0(1,?1,1)处的方向导数的最大值为
3. 34.设函数f(x,y)?2x2?ax?xy2?2y在点(1,?1)处取得极值，则常数a??5.
5.空间曲线
12)处的切线方程为 y2?2x,z2?1?x在点(,1,22x?12z?2?y?1?2 .
111?26.改变积分次序：I??20dx?2x?x20f(x,y)dy?
?dy?011?1?y21?1?y2f(x,y)dx .
7.设平面曲线L为下半圆周y??1?x2，则8.设?为曲面z??L(x2?y2)ds??1?ds?L12?1??? . 2x2?y2在0?z?1的部分，则??xdS? 0 .
??e?x,???x?0,则其以2?为周期的傅里叶级数在x??处收敛于 9.设f(x)??0?x???1,1(1?e?) . 210.设y1,y2,y3是微分方程y???p(x)y??q(x)y?f(x)的三个不同的解，且数，则微分方程的通解为 C1(y1?y2)?C2(y2?y3)?y1 .
y1?y2?常
y2?y3 1
?1111.函数f(x)?展开为x的幂级数的形式为?n?1xn2?xn?02x?(?2,2) .
12.微分方程y??1y?xex的通解为 Cx?xex . x二、计算下列各题（每小题6分，共18分）
1.设z?f(,e)，y??(x)，其中f,?均为一阶可微函数，求解：
yxxydz. dxdzy?x?yxy??f1???f?e(y?xy?) 22dxxx??(x)??(x)xy??f?e(?(x)?x??(x)) ?f1??22x1222.求曲面z?4?(x?y)与平面z?2所围立体的体积.
2解：所围立体在xoy面的投影域D:x2?y2?4，所围立体的体积 V?121??2[4?(x?y)]?2dxdy?2dxdy?(x2?y2)dxdy ????????22D?D?D2212?2 ?2?2???d??rrdr?8??4??4?
0203.在曲面x2?2y2?3z2?66上第一卦限部分求一点，使该点的切平面与已知平面
x?y?z?1平行.
解：设曲面在第一卦限的切点的坐标为M(x,y,z)，令
F(x,y,z)?x2?2y2?3z2?66，
则切平面的法向量
n?(Fx,Fy,Fz)M?(2x,4y,6z), 已知平面x?y?z?1的法向量
n1?(1,1,1) 依题意n//n1，即
????2x4y6z令???t 111代入曲面方程中解的x?6,y?3,z?2，即切点坐标为M(6,3,2). 三、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.设?是由锥面z?
x2?y2与半球面z?1?x2?y2围成的空间区域，?是?的整个
2
边界的外侧，求曲面积分
??xdydz?ydzdx?zdxdy.
?解：已知P(x,y,z)?x，Q(x,y,z)?y，R(x,y,z)?z，由高斯公式有
??xdydz?ydzdx?zdxdy????(???P?Q?R??)dv ?x?y?z?3???dv?3?d??4d??r2sin?dr
?0002??1?3?2??(1?2.写出级数
21)??(2?2)? 231357?2?3?4??的通项，判别该级数的敛散性.若级数收敛时，试求其和. 22222n?1解：该数项级数的通项为un?；级数为正项级数，由于 n2 limun?112n?11?lim??，
n??un??22n?12n由比值审敛法知该级数收敛.令
s(x)??(2n?1)x?2x?nxnn?1n?1??n?1??xn?2xs1(x)?s2(x)x?(?1,1)，
n?1?则
?于是
x0s1(t)dt???ntn?10?xn?1dt??xn?n?1?x， 1?xd?x1?? s1(x)?， s(t)dt???01?(1?x)2dx?又
s2(x)??xn?n?1?x， 1?x所以
2xxx?x2s(x)???21?x(1?x)(1?x)2于是
x?(?1,1)，
?11?x?x2? s()??(2n?1)n???3. 2?22n?1?(1?x)?x?12 3