最新华师大版九年级数学数学导学案
（全册 附答案 共257页）
21.1 二次根式
第一课时
课前知识管理（从教材出发，向宝藏纵深）
二次根式的概念：一般地，我们把形如a?a?0?的式子叫做二次根式.二次根式的概念主要包括三点内容：①二次根式必须含有二次根号“”；②二次根式a?a?0?是非
负数a的算术平方根，当a?0时，a?0；当a?0时，a?0.③在二次根式a中被开方数a可以是数，也可以是代数式，并且被开方数必须是非负的.
名师导学互动（切磋琢磨，方法是制胜的法宝）
典例精析
类型一：二次根式的识别
例1、小明在作业本上写出了以下几个式子，你认为是二次根式的有 .①25；
22②3a；③b?1；④x?y；⑤a?2011；⑥?225.（只填序号）
22
【解题思路】在式子a中只有当被开方数a是非负数时，a才是二次根式，因为
225?0,x2?y2?0,a2?2011?0，所以25、x2?y2、a?2011是二次根式.
【解】①、④、⑤. 【方法归纳】理解二次根式的定义是判断一个式子是否为二次根式的基本前提，一个式子是否为二次根式要有以下两个条件：①被开方数为非负数；②根指数为2，不要误认为只要带有二次根号，就为二次根式.
类型二：确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围
例2、函数x?1的自变量x的取值范围是 . x?3 【解题思路】二次根式要有意义，被开方数必须大于或等于零；分式要有意义，分母必须为等于零.此函数既含有二次根式又含有分式，必须同时使它们有意义.
【解】x?1?0,x?3?0，即x??1,且x?3.
【方法归纳】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母为能为0；（3）当函数的表达式是二次根式时，被开方的数为非负数.
类型三：二次根式的非负数性的应用
例3、代数式a?2a?1?1?a?3的值等于 .
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【解题思路】根据二次根式的意义先求出a的值，再对式子化简. 【解】根据二次根式的意义，可知??1?a?0，解得a=1，∴a?2a?1?1?a?3?a?1?0=1+3=4.
【方法归纳】主要考查二次根式的意义，二次根式的被开方数为非负数，二次根式才有意义.
例4、当1?x?4时，x?4?x2?2x?1= . 【解题思路】根据已知条件判断出x?4,x?1的符号，再根据二次根式的性质、去绝对
值的法则解答.
【解】∵1?x?4，∴x?4?0,x?1?0.原式=x?4??x?1?2?4?x?x?1=3.
【方法归纳】解答此题，要弄清二次根式的非负性及去绝对值的符号法则。 类型四：实践应用题
例5、生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的
1，则3梯子最稳定.如图，现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，他的顶端能达到5.6米高的墙头吗？（2?1.414）
【解题思路】由已知可得当AB=6时，BC=
1AB=2，由勾股定理求得AC的值即可比较出3结果.
【解】能.当BC=
1AB时，∵AB=6，∴ BC=2.在Rt△ABC中，由勾股定理得： 3 AC=AB2?BC2?62?22?32?42?4?1.414?5.656（米）.∵5.656＞5.6，
∴梯子顶端能到5.6米高的墙头.
易错警示
例6、当x为何值时，
2?x1?x3 有意义？
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?2?x?0?【错解】 ∵?x?0, ∴0≤x≤2.
?1?3x?0?【错因分析】这是一道容易混淆的两个概念的例子，解答中x≥0是多余的，出现此错误也是混淆了二次根式与三次根式的本质区别.二次根式要求被开方数非负，三次根式对被开方数没有要求.
【正解】由题意得：??2?x?0，∴x≤2 且x≠-1. 3?1?x?0课堂练习评测（检验学习效果的时候到了，快试试身手吧）
知识点1：二次根式的概念
1、若a?1是一个二次根式，则（ ）
A、a?1,a?1?0 B、a?1,a?1?0 C、a?1,a?1?0 D、
a?1,a?1?0
2、在式子3,a?4,a,2y?y?0?,?2x,?x?x?0?中，是二次根式的有 . 4知识点2：确定二次根式中被开方数的取值范围 3、如果b是二次根式，那么a,b应满足 . a4、若3m?1有意义，则m能取的最小整数值是（ ） A、m?0 B、m?1 C、m?2 D、m?3
课后作业练习
一、选择题：
a＋2
有意义，a的取值范围是（ ） aA．a≠0 B．a＞－2且a≠0 C．a＞－2或a≠0 D．a≥－2且a≠0
1、要使式子
?x?23、已知?是二元一次方程组
y?1?（ ）. A．4
B．2
?mx?ny?8的解，则2m?n的算术平方根为??nx?my?1C．2
2D． ±2
4、若a、b为实数，且满足│a－2│+?b=0，则b－a的值为（ ）
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