中考数学复习 反比例函数在中考中的常见题型
◆知识讲解
1．反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y= 2．反比例函数y=
k（k≠0）． xk（k≠0）的性质 x （1）当k>0时?函数图像的两个分支分别在第一，三象限内?在每一象限内，y随x的增大而减小．
（2）当k<0时?函数图像的两个分支分别在第二，四象限内?在每一象限内，y随x的增大而增大． （3）在反比例函数y=
k中，其解析式变形为xy=k，故要求k的值，?也就是求其图像x上一点横坐标与纵坐标之积，?通常将反比例函数图像上一点的坐标当作某一元二次方程的两根，运用两根之积求k的值．
k图像上一点（a，b）满足a，b是方程Z2－4Z－2=0的两根，求双x?2曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=．
x （4）若双曲线y=
（5）由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图像和x轴，y?轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势． ◆例题解析
例1 （2006，上海市）如图，在直角坐标系中，O为原点，点A在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数y= （1）求点A的坐标；
（2）如果经过点A的一次函数图像与y轴的正半轴交于点B，且OB=AB，?求这个一次函数的解析式．
【分析】（1）用含一个字母a的代数式表示点A的横坐标，纵坐标，把点A的坐标代入y=
12的图像经过点A， x12可求得a的值，从而得出点A的坐标． x （2）设点B的坐标为（0，m），根据OB=AB，可列出关于m的一个不等式，?从而求出点B的坐标，进而求出经过点A，B的直线的解析式． 【解答】（1）由题意，设点A的坐标为（a，3a），a>0．
∵点A在反比例函数y=
1212的图像上，得3a=，解得a1=2，a2=－2，经检验a1=2，xaa2=－2?是原方程的根，但a2=－2不符合题意，舍去． ∴点A的坐标为（2，6）．
（2）由题意，设点B的坐标为（0，m）． ∵m>0，∴m=(m?6)2?22．
1010，经检验m=是原方程的根， 3310 ∴点B的坐标为（0，）．
1310 设一次函数的解析式为y=kx+．
13 解得m=
由于这个一次函数图像过点A（2，6）， ∴6=2k+
410，得k=．
33410x+． 33m的图像在x ∴所求一次函数的解析式为y=
例2 如图，已知Rt△ABC的顶点A是一次函数y=x+m与反比例函数y=第一象限内的交点，且S△AOB=3．
（1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，?请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由．
（2）如果线段AC的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D点，过D作DE⊥x?轴于E，那么△ODE的面积与△AOB的面积的大小关系能否确定？
（3）请判断△AOD为何特殊三角形，并证明你的结论．
【分析】△AOB是直角三角形，所以它的面积是两条直角边之积的
1，?而反比例函数2图像上任一点的横坐标，纵坐标之积就是反比例函数中的系数．由题意不难确定m，则所求一次函数，反比例函数的解析式就确定了．
由反比例函数的定义可知，过反比例函数图像上任一点作x轴，y轴的垂线，?该点与两垂足及原点构成的矩形的面积都是大小相等的． 【解答】（1）设B（x，0），则A（x0，
m），其中0>0，m>0． x0 在Rt△ABO中，AB=
m，OB=x0． x0 则S△ABO =
m1·x0·=3，即m=6．
x02 所以一次函数的解析式为y=x+6；反比例函数的解析式为y=
6． x?y?x?6? （2）由?6得x2+6x－6=0，
y??x? 解得x1=－3+15，x2=－3－15．
∴A（－3+15，3+15），D（－3－15，3－15）．
由反比例函数的定义可知，对反比例函数图像上任意一点P（x，y），有
6．即xy=6． x1 ∴S△DEO =│xDyD│=3，即S△DEO =S△ABO．
2 y=
（3）由A（－3+15，3+15）和D（－3－15，3－15）可得AO=43，DO=43，即AO=DO．
由图可知∠AOD>90°，∴△AOD为钝角等腰三角形．
【点评】特殊三角形主要指边的关系和角的关系．通过对直观图形的观察，借助代数运算验证，便不难判断．
◆强化训练 一、填空题
1．（2006，南通）如图1，直线y=kx（k>0）与双曲线y=两点，?则2x1y2－7x2y1的值等于_______．
4交于A（x1，y1），B（x2，y2）x
图1 图2 图3
2．（2006，重庆）如图2，矩形AOCB的两边OC，OA分别位于x轴，y轴上，点B的坐标为B（－
20，5），D是AB边上的一点，将△ADO沿直线OD翻折，使A点恰好3落在对角线OB上的点E处，若点E在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是______．
3．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知400?度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为_______． 4．若y=
3a?1xa2?a?1中，y与x为反比例函数，则a=______．若图像经过第二象限内的某点，
则a=______． 5．反比例函数y=
k的图像上有一点P（a，b），且a，b是方程t2－4t－2=0的两个根，则xk=_______；点P到原点的距离OP=_______．
6．已知双曲线xy=1与直线y=－x+b无交点，则b的取值范围是______． 7．反比例函数y=
k的图像经过点P（a，b），其中a，b是一元二次方程x2+kx+4=0的两x个根，那么点P的坐标是_______． 8．（2008，咸宁）两个反比例函数y=
k1和y=在第一象限内的图像如图3所示，?点Pxxk11在y=的图像上，PC⊥x轴于点C，交y=的图像于点A，PD⊥y轴于点D，交y=
xxx的图像于点B，?当点P在y=
k的图像上运动时，以下结论： x ①△ODB与△OCA的面积相等； ②四边形PAOB的面积不会发生变化； ③PA与PB始终相等
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．
其中一定正确的是_______（把你认为正确结论的序号都填上，?少填或错填不给分）． 二、选择题
9．（2008，济南）如图4所示，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB，AC分别平行于x轴，y轴，?若双曲线y=
k（k≠0）与△ABC有交点，则k的取值范围是（ ） x A．1 图4 图5 图6 10．反比例函数y= k（k>0）的第一象限内的图像如图5所示，P为该图像上任意一点，PQx垂直于x轴，垂足为Q，设△POQ的面积为S，则S的值与k之间的关系是（ ） A．S= kk B．S= C．S=k D．S>k 422的图像在第一象限内的交x11．如图6，已知点A是一次函数y=x的图像与反比例函数y= 点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么△AOB的面积为（ ） A．2 B．12．函数y= 2 C．2 D．22 2m与y=mx－m（m≠0）在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ） x