第十四章 线性动态电路的复频域分析
一、 教学目标
应用拉氏变换分析线性时不变网络时，可以先列出网络的积分微分方程，然后变换为复频域中的代数方程并求解；也可以先将各电路元件的特性方程变换成复频域形式，再作出线性时不变网络的运算电路，然后直接列出网络在复频域中的代数方程并求解。一般来说，后一种方法比前一种方法简便。本章介绍的就是后一种方法。 1. 知识教学点
(1) 拉普拉斯变换的复习：定义和性质；常用信号（即基本函数）的象函数；部分分式展
开定理
(2) 运算电路：KCL、KVL的s域形式；元件VAR的s域形式及元件的s域模型；运算电
路的画法
(3) 电阻电路分析方法在运算电路中的应用 (4) 线性动态电路的复频域分析法
(5) 网络函数：定义、分类、性质；极点、零点与极零点图；H(s)与H(j?)之间的关系 2. 能力训练点
（1） 利用拉普拉斯变换的性质和常用信号的象函数求原函数的象函数；用部分分式展开
定理由象函数求原函数
（2） 正确画出运算电路
（3） 应用电阻电路的分析方法分析运算电路 （4） 求网络函数及其极点、零点
（5） 由网络函数求零状态响应及稳态响应
3. 其它
（1） 掌握复频域分析法的优缺点及其应用范围 （2） 了解卷积定理：时域卷积←→频域相乘
二、 教学方法
1 教法指导 （1） 指导学生复习数学积分变换中已经学过的拉氏变换（定义、常用信号的象函数、性质）和高
等数学不定积分中的有理函数的分解（求拉氏反变换的部分分式展开法）。重点放在部分分式展开法。 （2） 与相量法类比介绍运算电路的画法，特别应注意储能元件（电容和电感）的s域模型。 （3） 与电阻电路类比，介绍运算电路的分析。 （4） 在介绍网络函数时，特别要强调电路为零状态。讲解清楚H(s)的求法及其几种表示方法；
H(s)、H(j?)及h(t)的联系；网络函数的一些应用。 2 学法指导
预备知识 数学方面：积分变换中的傅氏变换与拉氏变换；高等数学不定积分中的有理函数的分
解（樊映川等编.高等数学讲义.人民教育出版社，1958：7.6（pp.355-361））
电路方面：电阻电路、正弦稳态电路的相量法、动态电路的基本概念。
本章指南（1）掌握由原函数求象函数的方法；熟练掌握用部分分式展开定理由象函数求原函数。
（2）在掌握基尔霍夫定律的运算形式、元件的运算阻抗和运算导纳与运算电路的画法的
基础上，熟练掌握线性动态电路的复频域分析法。
（3） 掌握网络函数。 （4）了解卷积定理 知识详解
知识点1 拉普拉斯变换
1. 定义：
拉普拉斯正变换 F(s)?拉普拉斯反变换 f(t)???0?f(t)e?stdt 简记为F(s)???f(t)?
??j??j?2?j??1F(s)estds 简记为f(t)???1?F(s)?
F(s)称为象函数；f(t)称为原函数，其定义域为[0, ?)。
常用信号的象函数
象函数F(s) 象函数F(s) 原函数f(t) 原函数f(t) ?(t) ?(t) t 1 1 s1 s21sn?1f(t)e??t F(s??) e??t 1 s??1 2(s??)1(s??)n?1 te??t 1nt n! 1n??tte n!e??t sin?t ? 22s??s 22s?? sin?t ? (s??)2??2(s??) (s??)2??2cos?t
2. 基本性质：
e??tcos?t 拉氏变换有许多运算性质，常用的几个基本性质如下表。
性质名称 时间函数f(t) 象函数F(s) 备注 唯一 线性 f(t)与F(s)一一对应 保证解不变 ?f1(t)??f2(t) df(t) 时域微分 dt时域积分 ?F1(s)??F2(s) 可简化f(t)与F(s)之间的转换 sF(s)?f(0?) 将微分运算转化为代数运算 ?t0f(?)d? F(s) sF(s)e?st0 将积分运算转化成代数运算 卷积与相乘对应 时移 频移 卷积定理
f(t?t0)?(t?t0) f(t)e?at f1(t)?f2(t) F(s?a) F1(s)?F2(s) 知识点2 象函数的部分分式展开
线性时不变电路中的象函数通常为s的有理分式，即下列形式的s的两个实系数多项式之比
??sm??bm???1sm??1??b1?s?b0?bm F(s)?ns?an?1sn?1??a1s?a0求原函数不用拉氏反变换公式，而采用部分分式展开法。
当有理分式为假分式（m??n）时，先利于多项式的除法，把有理假分式化为一个多项式与有理真分式之和
F(s)?cm??nsm??n?cm??n?1sm??n?1?bmsm?bm?1sm?1??b1s?b0m??nkN(s)?c1s?c0?n??cks?s?an?1sn?1??a1s?a0D(s)k?0式中，m?n。然后对真分式进行部分分式展开，分为下列三种情况：
（1）D(s)?0的根为不等实根
nbmsm?bm?1sm?1???b1s?b0Ak F(s)???(s?p1)(s?p2)?(s?pn)s?pk?1k式中待定系数由下述公式确定
Ak?(s?pk)F(s)s?p
k根据拉氏反变换的线性性质对展开式各部分分式进行反变换，可求出已知象函数的原函数为
f(t)??Akepkt?(t)
k?1n（2）D(s)?0的根中有重根
设s?p1为l阶重根，其余?n?l?个根均为单根，则
lnAjbmsm?bm?1sm?1??b1s?b0Ak F(s)?????lk(s?p1)(s?pl?1)(s?pn)k?1(s?p1)j?l?1s?pj