距离空间、线性赋范空间、内积空间的理解
及其区别
从初中开始，我们就接触到了绝对值的概念。在以往学习过的实数域中，绝对值为一个非负的标量，表示某个数到0的长度。而在学完向量的计算后我们知道，绝对值为向量的模，即向量的长度。扩展到现代数学，绝对值不止应用于实数域、向量计算，还适用于点列、函数等，由此也就引出了距离的概念。
设X是任一集合, ?x,y?X，按照一定的法则确定一个函数d?x,y?，这个函数满足定义域X?X，且满足：
1. 非负性：d?x,y??0，且d?x,y?=0的充要条件是x?y； 2. 对称性：d?x,y?=d?y,x?；
3. 三角不等式：d?x,y??d?x,z??d?z,y?，??z?X?。 则称X为一个距离空间，d?x,y?为空间中x,y之间的距离。
有距离空间的定义可以发现，距离空间中的距离是一个二元函数，他可以简单地理解为x与y之间的长度，即d?x,y?=x?y。
我们定义距离空间实际上是为了在空间这个概念上定义收敛。若点列?xn??X，x?X，则?xn?收敛于X可以定义为d?xn,x??0，?n????。
线性空间是具有线性结构的空间，他在空间上定义了加法和数乘运算。这就表示空间中的所有点都可以用一组基通过加法和数乘线性表示出来。转化到图像上就是线性空间可以表示某一点的位置。有一种特殊的线性空间叫做向量空间，向量空间可以表示起始点在原点的向量。若想知道两个向量相加的和向量或者向量数乘之后的向量长度，则需要引入范数的概念。范数可以近似理解为向量的长或者确定点到原点的距离，引入范数的线性空间称作线性赋范空间。定义为：
X为一线性空间，?x?X，定义实值函数x满足：
1. 非负性：x?0，且x=0?x=0； 2. 齐次性：
?x=?x；
3. 三角函数：x+y?x?y。 则称x为X的范数，X为线性赋范空间。
对比距离空间和线性赋范空间的定义可以发现，线性赋范空间是在距离空间的基础上增
加了数乘的运算构成，所以线性赋范空间诱导成距离空间。我们可以这样理解：线性赋范空间主要参照物是坐标系，关注的是坐标系中点的位置、点到原点的距离以及两点所构成的向量与向量的长度。线性赋范空间是距离空间，但是反之不成立。
距离空间与线性赋范空间定义了距离与位置，但是这还不是我们所熟知的空间概念。我们所熟悉的三维欧氏空间应该具有长度、坐标以及夹角这几种元素，所以引入内积空间的概念。
设H为数域K上的线性空间，定义映射
,:H?H?K，使得
?x,y,z?H,?,??K,满足：
1. 线性特性：
?x??y,z??x,z??y,z；
2. 共轭对称性：x,y?y,x；
3. 正定性：x,x?0，且x,x=0?x?0。
则称x,y为x,y的内积，称定义了内积的空间H为内积空间。
内积空间定义了两向量之间的夹角，给出了正交的定义。空间的基之间的线性无关关系在内积空间可以明确的表述出来。由内积空间通过诱导可以得到范数及距离，所以内积空间具有距离（长度）、位置、夹角三种元素。内积空间一定是线性赋范空间和距离空间，但是反之不成立。
由距离空间到线性赋范空间再到距离空间，空间中包含的关系逐渐增多。我认为不妨把这三种空间简化的看成我们比较熟悉的欧式一维、二维、三维空间，距离空间只有一个元素即距离，是一维的。但是构成这个一维元素的参量需要两个。性赋范空间是二维的，只有位置和距离。位置和距离由张成n维空间的基线性组成。这里的n维和前面说的一二三维是不同的概念，这里是现实中的维度，前面是我自己抽象出的维度。内积空间具有距离、位置、角度三个元素，这个空间中的表示至少需要两个由n个基线性表出的向量与一个向量之间的夹角。